On a functional equation. (Q5912942)

Zwischen den Variabeln \(x\) und \(y\) bestehe die Relation \[ axy + b(x+y) + c = 0, \] in welcher \(a\), \(b\), \(c\) Constanten bezeichnen. Man soll die Function \(X=f(x)\) so bestimmen, dass sie der Gleichung \[ AXY + BX + B'Y + C = 0\qquad [Y = f(y)] \] genügt, unter \(A\), \(B\), \(B'\), \(C\) Constanten verstanden. Wenn \(B'=B\) ist, so wird die allgemeine Lösung der Aufgabe, je nachdem \(A\) von Null verschieden oder \(A=0\) ist, durch die Gleichungen \[ AX + B = \sqrt{B^2-AC} \frac{\psi(x)}{\psi(y)}, \] respective \[ X = -\frac C{2B} + \psi(x) - \psi(y) \] gegeben, in welchen \(\psi(x)\) eine willkürliche Function bezeichnet. Ist \(B'\) von \(B\) verschieden, so besitzt die Aufgabe nur dann eine Lösung, wenn \(A=C=0\), \(B'=-B\) ist. Und zwar heisst die Lösung in diesem Falle \(X=\psi(x)+\psi(y)\).