Aufstellung eines neuen dreifach orthogonalen Flächensystems. (Q5913020)

Der Verfasser ist zur Aufstellung eines neuen dreifachen Orthogonalsystems durch eine einfache Analogie zwischen dem dreidimensionalen und dem vierdimensionalen Raume geführt worden. Ein orthogonales Curvensystem auf der Kugel wird durch die stereographische Projection conform auf die Ebene abgebildet, geht also in ein ebenes Orthogonalsystem über. Genau die analoge Beziehung findet im vierdimensionalen Raume statt. Um diese Betrachtung an dem vom Verfasser gewählten Beispiele möglichst kurz durchzuführen, soll hier ein etwas anderer Weg eingeschlagen werden, als in der Abhandlung. Die Analogie mit den oben besprochenen Betrachtungen im gewöhnlichen Raume geht aus den Formeln und den gewählten Bezeichnungen ohne weiteres hervor: Wir betrachten in rechtwinkligen Coordinaten den Kugelraum \[ x^2 + y^2 + z^2 + t^2 = 1\tag{I} \] und das System confocaler Kegelräume: \[ \frac{x^2}{a-u} + \frac{y^2}{b-u} + \frac{z^2}{c-u} + \frac{t^2}{d-u} = 0\quad a>b>c>d.\tag{II} \] Durch jede Gerade, welche vom Anfangspunkte ausgeht, gehen drei Kegelräume dieses Systems, denen drei Werte von \(u\) entsprechen, die wir \(u\), \(v\), \(w\) nennen, so dass \(a>u>b>v>c>w>d\). Der Kugelraum (I) und jeder Kegelraum (II) haben eine mit \(u\) variirende Fläche gemeinsam, und das ganze so entstehende Flächensystem ist ein dreifaches Orthogonalsystem im Kugelraume. Wir bilden nun den Kugelraum vom Punkte \(x=y=z=0\), \(t=1\) perspectivisch in den gewöhnlichen Raum \(t=0\) ab. Dies ist die stereographische Abbildung, die auch im vierdimensionalen Raum conform ist. Entspricht dem Punkte \(x\), \(y\), \(z\), \(t\) des Kugelraums der Punkt \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) im Raume \(t=0\), so ist \[ \xi = \frac x{1-t},\quad \eta = \frac y{1-t},\quad \zeta = \frac z{1-t}.\tag{III} \] Drückt man durch diese drei Gleichungen \(x\), \(y\), \(z\) aus und setzt die Werte in (I) und (II) ein, so erhält man \[ \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \frac{1+t}{1-t},\text{ oder }\xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 - 1 = \frac{2t}{1-t}, \] und \[ \frac{\xi^2}{a-u} + \frac{\eta^2}{b-u} + \frac{\zeta^2}{c-u} + \left(\frac t{1-t}\right)^2\frac1{d-u} = 0. \] Durch Elimination von \(t\) entsteht schliesslich: \[ \frac{(\xi^2+\eta^2+\zeta^2-1)^2}{d-u} + 4\left\{\frac{\xi^2}{a-u} + \frac{\eta^2}{b-u} + \frac{\zeta^2}{c-u}\right\} = 0.\tag{IV} \] Dies ist die Gleichung des gesuchten dreifach orthogonalen Flächensystems. Der Verfasser hat in der Abhandlung einen anderen Weg gewählt; er hat nämlich zunächst \(x\), \(y\), \(z\), \(t\), dann \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) durch die Parameter \(u\), \(v\), \(w\) dargestellt und ist schliesslich durch Elimination der \(u\), \(v\), \(w\) auf die Gleichung (IV) gelangt. Die Wiedergabe dieser Entwickelung würde einen grösseren Formelapparat nötig machen. Uebrigens steht in der Abhandlung, wahrscheinlich in Folge eines Druckfehlers, bei der in diesem Referat mit (IV) bezeichneten Gleichung statt des Zeichens \(+\) das Zeichen \(-\) vor der Gesichtsklammer links. Der Verfasser dehnt seine Betrachtungen zuletzt in ganz analoger Weise auf Räume mit beliebig vielen Dimensionen aus.