Sur l'intégration des équations différentielles linéaires. (Q5913211)

Die hier auseinandergesetzte Theorie der Integration der linearen homogenen Differentialgleichungen zeigt eine vollkommene Analogie mit der Galois'schen Theorie der Lösung algebraischer Gleichungen. Den Ausgangspunkt bildet das Studium der rationalen Functionen der Integrale eines Fundamentalsystems \(x_1,\dots,x_n\) einer linearen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \(f(x) = 0\), sowie ihrer Derivirten \(\frac{d^kx_i}{dt^k}\) in Bezug auf die unabhängige Variable \(t\), die wir im folgenden kurz mit \(R(x)\) bezeichnen wollen, und ihres Verhaltens gegenüber der Gruppe der linearen Transformationen \[ (1)\quad \overline{x_i}=\sum^{k=n}_{k=1}\qquad (i = 1, 2,\dots, n). \] Die bei allen diesen Transformationen invariant bleibenden Functionen spielen hier die Rolle der symmetrischen Functionen in den algebraischen Gleichungen und sind dadurch charakterisirt, dass jede solche sich rational in \(t\), den Coefficienten der Differentialgleichung und ihren Derivirten ausdrücken lässt. Die Transformationen der Gruppe (1), welche eine Function \(R\) zulässt, bilden eine Untergruppe, ``Gruppe der Function \(R\)''. Man erhält sie, indem man aus der angesetzten Identität \(R(\overline{x_i}) = R(x_i)\) eine gewisse Anzahl von Relationen zwischen den Constanten \(a_{ik}\) herleitet, wodurch diese als algebraische Functionen einer gewissen Anzahl ``wesentlicher Parameter'' erscheinen. Die so definirte Gruppe \(\varGamma\) ist also algebraisch. Ihr entspricht eine Gruppe infinitesimaler Transformationen nach der Theorie des Herrn Lie. Man stellt sie her, indem man identisch \[ \sum_{ik}\;e_{ik}\left(x_i\;\frac{\partial R}{\partial x_k} + \frac{dx_i}{dt}\;\frac{\partial R}{\partial\frac{dx_k}{dt}}+\cdots\right) =0 \] setzt, wodurch sich die \(e\) als lineare homogene Functionen einer gewissen Anzahl unter ihnen darstellen. Trägt man diese in den Ausdruck \(\sum_{ik} e_{ik}x_i\,\frac{\partial F}{\partial x_i}\) ein, so sind die Coefficienten der willkürlich gebliebenen \(e\) die gesuchten infinitesimalen Transformationen, die eine Gruppe \(G\) erzeugen. Hängt die Function \(R\) von \(s\) wesentlichen Parametern ab, so ist die Anzahl der infinitesimalen Transformationen, die sie zulässt, \(n^2-s\). \(R\) selbst genügt einer algebraischen Differentialgleichung \(s^{\text{ter}}\) Ordnung mit in \(t\) rationalen Coefficienten; diese heisst ``die Transformirte'' der linearen Differentialgleichung \(f(x)= 0\). Eine ratioaale Function \(S\), die alle Transformationen der Gruppe der Function \(R\) zulässt, drückt sich rational durch \(t\), \(R\), die Coefficienten der Gleichung \(f(x) = 0\) und deren Derivirte aus \(V= u_1x_1+\cdots+u_nx_n\), wo die \(u\) beliebige rationale Functionen von \(t\) sind, heisst ``allgemeine Resolvente''. Durch \(V\) und ihre Derivirten lassen sich sämtliche Integrale \(x_1,\dots,x_n\) rational ausdrücken, und \(V\) genügt einer linearen homogenen Differentialgleichung \((n^2)^{\text{ter}}\) Ordnung. Ferner gilt das folgende, dem bekannten Galois'schen Satze analoge Theorem: Jeder linearen Differentialgleichung entspricht eine Gruppe \(\varGamma\) von folgenden Eigenschaften: 1) Jede Function \(R\), welche einen rationalen Ausdruck hat, lässt alle Transformationen der Gruppe zu; 2) jede Function \(R\), die gegenüber allen Transformationen der Gruppe invariant ist, hat einen rationalen Ausdruck (hier, wie oben, in dem Sinne, dass der Ausdruck in \(t\), den Coefficienten von \(f = 0\) und ihren Derivirten rational ist). Die Betrachtung der infinitesimalen Transformationen führt zu dem Satze: Jeder linearen Differentialgleichung entspricht eine Gruppe \(G\) von den Eigenschaften: 1) Jede Function \(R\), die einen algebraischen Ausdruck hat, lässt alle Transformationen dieser Gruppe zu. 2) Jede Function \(R\), die alle Transformationen der Gruppe zulässt, hat einen algebraischen Ausdruck. Durch Adjunction einer rationalen Function von Integralen kann die Gruppe \(F\) reducirt werden. Die Lösung jeder linearen Differentialgleichung wird so auf die einer Reihe von Hülfsgleichungen zurückgeführt. Diese Methode ergiebt auch die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine lineare Differentialgleichung durch Quadraturen integrirbar ist. Zum Schluss wird die Theorie auf die linearen Differentialgleichungen zweiter und dritter Ordnung angewandt.