On the approximate representation of a function by rational functions. (Q5913224)

Die vorliegende Abhandlung giebt einen wesentlichen Beitrag zu der neuerdings mehrfach behandelten Frage der Darstellung analytischer Functionen durch Kettenbrüche. Der Verfasser geht von der Betrachtung derjenigen irreducibeln rationalen Functionen \(U(x)/V(x)\) aus, welche eine gewöhnliche Potenzreihe \(y\), die für \(x = 0\) nicht verschwindet, mit möglichster Annäherung darstellen. Er beweist zunächst den grundlegenden Satz: dass es unter allen Functionen \(U/V\), deren Zähler höchstens vom Grade \(p\), deren Nenner höchstens vom Grade \(q\) ist, eine einzige giebt, für welche die Entwickelung von \(y-U/V\) nach Potenzen von \(x\) mit einer möglichst hohen Potenz von \(x\) beginnt. Der Potenzreihe \(y\) entspricht eine bestimmte Tafel von irreducibeln rationalen Functionen, die dadurch hergestellt wird, dass man in dasjenige Feld der Tafel, in welchem sich die \(p^{\text{te}}\) Vertical- und die \(q^{\text{te}}\) Horizontalreihe kreuzen, die dem Zahlenpaare \((p, q)\) entsprechende Function \(U/V\) einträgt. Nach einer näheren Untersuchung dieser Tafel von ``Näherungsbrüchen'' der Potenzreihe \(y\) wendet sich der Verfasser zur Betrachtung der Kettenbrüche, wobei er die folgenden beiden Formen: \[ \text{(I)}\quad a_1+\frac{\alpha_2}{a_2}_{\displaystyle + \frac{\alpha_3}{a_3}_{\displaystyle +\cdots}}\qquad \text{und}\qquad \text{(II)} \quad \frac{\alpha_1}{a_1}_{\displaystyle{+\frac{\alpha_2}{a_2}_{\displaystyle +\cdots}}} \] unterscheidet. Jeder dieser Brüche ist unendlich vieldeutig bestimmt, wenn man die Forderung stellt, dass die Elemente \(a\), \(\alpha\) Polynome und die Reihe der Näherungsbrüche vorgeschriebene irreducible (rationale) Functionen von \(x\) ein sollen. Diese unendliche Vieldeutigkeit fällt aber fort, wenn man sich auf die Betrachtung ``einfacher'' Kettenbrüche beschränkt. Der Verfasser nennt einen Kettenbruch einfach, wenn die \(\alpha\) (mit Ausnahme von \(\alpha_1\), welches eine nicht verschwindende Constante sein muss) von der Gestalt \(c.x^r\) sind, unter \(c\) eine nicht verschwindende Constante, unter \(r\) eine positive ganze Zahl verstanden, und wenn die \(a\) Polynome von \(c\) sind, die für \(x=0\) nicht verschwinden. Ein einfacher Kettenbruch (I) oder (II) ist durch die Reihe seiner Näherungsbrüche eindeutig bestimmt. Unter den einfachen Kettenbrüchen sind weiter die ``regulären'' von besonderem Interesse. Diese sind dadurch charakterisirt, dass mit eventueller Ausnahme von (I) \(a_1,\alpha_2\), oder (II) \(\alpha_1,a_1\), \(\alpha_2\) alle Partialnenner unter sich und alle Partialzähler unter sich den gleichen Grad besitzen. An diese Definitionen knüpft der Verfasser einige Sätze über die Convergenz einfacher Kettenbrüche und eine ausführliche Behandlung der Frage, wie man aus der einer Potenzreihe \(y\) entsprechenden Tafel von Näherungsbrüchen die Brüche \(U_1/V_1, U_2/V_2,\dots\) auszuwählen hat, damit diese die Näherungsbruche eines einfachen oder, noch specieller, eines regulären Kettenbruches werden. Zum Schluss erläutert der Verfasser die erhaltenen Resultate an dem Beispiel der Exponentialreihe.