On the approximate representation of functions. (Q5913401)

Bedeutet \(f(\varphi)\) eine reelle continuirliche Function der reellen Veränderlichen \(\varphi\) mit der Periode \(2\pi\), so kann man, wie der Verfasser, ausgehend von dem Poisson'schen Integrale: \[ J=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\psi-\varphi)+r^2}\;f(\psi)d\psi, \] zeigt, eine endliche Fourier'sche Reihe \[ F(\varphi)=A_0+\sum_{k=1}^{k=m}(A_k\cos k\varphi+B_k\sin k\varphi) \] bilden, die sich von \(f(\varphi)\) um weniger als eine beliebig klein vorgeschriebene Grösse unterscheidet. Hieraus folgt dann leicht der von Herrn Weierstrass aufgestellte und in ganz anderer Weise bewiesene Satz, dass jede in einem Intervalle \(\alpha\dots\beta\) stetige Function \(f(x)\) in der Form einer gleichmässig und absolut convergirenden Reihe \(f_0(x)+f_1(x)+f_2(x)+\cdots\) dargestellt werden kann, deren Glieder ganze rationale Functionen von \(x\) sind. In ähnlicher Weise beweist der Verfasser den entsprechenden Satz für reelle Functionen von irgend einer Anzahl reeller Veränderlichen.