Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung. (Q5913425)

Diese Arbeit, durch welche für die Theorie der astronomischen Strahlenbrechung viele neue Gesichtspunkte gewonnen werden, zerfällt in 10 Abschnitte. Im ersten werden die Differentialgleichungen für den Weg eines Lichtstrahls in einem brechenden Medium aus der Bedingung entwickelt, dass die erste Variation des die Zeit ausdrückenden Integrals verschwinden muss. Darauf werden sie unter der Voraussetzung integrirt, dass die Flächenscharen mit constantem Brechungsexponenten concentrische Kugeln seien, deren Mittelpunkt auf der Lotlinie liegt. Die Refraction selbst, d. h. die gesamte Winkelablenkung des Strahles, wird dann durch ein Integral bestimmt, dessen Weg durch die ganze Atmosphäre hindurchgeht, das aber nicht eher berechnet werden kann, bis die Abhängigkeit des Brechungsexponenten von der Höhe als gegeben angenommen wird. Im zweiten Abschnitt wird ausgeführt, dass diese Abhängigkeit gerade das hypothetische Element aller bisherigen Refractionstheorien bilde, insofern die Temperaturabnahme mit der Höhe hineinspielt, über deren Art wir bis jetzt nur wenige und namentlich wenig systematische Beobachtungen haben, so dass stets irgend eine Interpolationsformel zu Grunde gelegt werden musste. Dieses Verfahren erklärt der Verfasser für einen zwecklosen Umweg, der von der Wärme und Dichte der Luft zu ihrer Brechbarkeit in verschieden Höhen genommen wird, weil man ebenso auf gut Glück den Brechungsexponenten selbst unmittelbar als Function der Höhe interpolatorisch einführen könne. Dies führt den Verfasser zur Lösung der Aufgabe, Refractionsformeln und -Tafeln aufzustellen, welche erstens auf die Beobachtungen selbst und dann auf tiefere Ueberlegungen gegründet sind, deren Auseinandersetzung den Hauptinhalt dieser Arbeit bildet. Hinterher liesse sich dann wohl durch Umkehrung des Verfahrens ein berechtigter Schluss über die Art der Temperaturabnahme, wenigstens in den tieferen, zur Refraction am meisten beitragenden Luftschichten ziehen. Die Beobachtungen lehren uns die Refraction als Function der Zenitdistanz oder der Richtung kennen, aber nur am Erdboden, nicht in jeder beliebigen Höhe. Will man sie als Function beider Elemente (Zenitdistanz und Höhe) darstellen, so muss man von dem oben genannten Integral ausgehen und in demselben als untere Grenze die Höhe über dem Erdboden nehmen, für welche die Refraction gelten soll. Da aber die Schichtung der Atmosphäre nach ihrer Brechbarkeit unbekannt ist, so wird von dem Verfasser aus dem analytischen Ausdruck für das Integral eine partielle Differentialgleichung abgeleitet, auf deren linker Seite nur jene beiden Elemente und die Differentialquotienten der Refraction nach ihnen stehen, während die rechte Seite durch den logarithmischen Differentialquotienten der Brechungsexponenten nach der Höhe (oder vielmehr nach einer anderen Grösse, die der Verfasser durchgängig für die Höhe setzt) gebildet wird. Diese partielle Differentialgleichung ist der Angelpunkt der nachfolgenden Untersuchungen, da ihr alle ``wahren'' Refractionsformeln, wie sie auch sonst sein mögen, genügen müssen. Um aber zu solchen zu gelangen, muss man doch wieder von denjenigen Formeln ausgehen, die mit genügender Schärfe die Refraction am Erdboden nur als Function der Zenitdistanz darstellen. Wenn nun eine derartige Formel mehrere Constanten \(a,b,c,\dots\) enthält, die für den Erboden bestimmte Werte haben, so ist der Versuch natürlicher Weise gegeben, ob dieselbe Formel für jede beliebige Höhe gelten könne, wenn \(a,b,c,\dots\) mit der Höhe sich ändern. Führt man aber \(a,b,c,\dots\) als unbekannte Functionen der Höhe ein, so giebt die partielle Differentialgleichung die Probe, ob dieser Versuch gelingen kann. Nach einigen allgemeinen Bemerkungen über die Eigentümlichkeiten einer solchen Untersuchung wendet sich der Verfasser im vierten Abschnitt zu einem ersten Beispiel, nämlich zu der Refractionsformel von Oppolzer \[ R=a\varPhi(b\cos\vartheta), \] wo \(a\) und \(b\) zwei Constanten, \(\vartheta\) die Zenitdistanz, \(R\) die Refraction und \(\varPhi\) die Function: \[ \varPhi(x)=e^{x^2}\int_x^\infty e^{-t^2}dt \] bedeuten. Hier zeigt sich, dass aus dieser Formel eine wahre Refractionsformel werden kann, wenn man noch ein Zusatzglied von ähnlicher Form hinzunimmt, in welches aber die Gesamthöhe der Atmosphäre eingeht. Dasselbe ist übrigens, wie nachgewiesen wird, in der Praxis so klein, dass es vernachlässigt werden kann. Im fünften Abschnitt nimmt der Verfasser als Ausgangsformel eine Reihe von Partialbrüchen an, von der Form: \[ R=\sum_\alpha\;\frac{1}{a_\alpha.\text{cotg\,}\vartheta+b_\alpha}\,. \] Auch hier gelingt der Versuch, diese Formel unter der Voraussetzung, dass \(a_\alpha\) und \(b_\alpha\) Functionen der Höhe seien, zu einer wahren Refractionsformel zu machen. Der sechste Abschnitt enthält Vergleichungen der Bessel'schen und Gyldén'schen Tafeln, sowohl mit der ursprünglichen Partialbruchformel, als auch mit der neuen, welche durch den eben genannten Process eine etwas abweichende Gestalt erhalten hat. Dabei wird zunächst nur ein einziger Partialbruch angenommen, und erst später, im siebenten Abschnitt, die Untersuchung auf zwei ausgedehnt. Es zeigt sich, dass dann die Formel bereits biegsam genug geworden ist, um allen Ansprüchen, die man heute stellen kann, zu genügen. Hierbei bemerkt der Verfasser, dass die Theorien der Strahlenbrechung erst dort ihre wahre Bedeutung gewinnen, wo die astronomischen Beobachtungen heute (wenn es irgend angeht) Halt machen, nämlich bei nur wenig gegen den Horizont geneigten Strahlen. Der achte Abschnitt führt den schon früher geäusserten Gedanken durch, aus dem Verhalten der Refraction auf die Brechbarkeit der Luft, damit dann auf ihre Dichtigkeit und damit endlich auf die Temperaturabnahme mit der Höhe zu schliessen. Die Formeln werden entwickelt und auf das vorher benutzte Material angewandt. Der Hauptschwerpunkt der Ergebnisse wird wohl durch den Satz dargestellt: Der Erfolg (nämlich in Bezug auf unsere Kenntnis der Temperaturabnahme) wird von der benutzten Formel (nämlich der Refractionsformel) nur in untergeordneter Weise, wesentlich dagegen von der Beschaffenheit des Beobachtungsmaterials beeinflusst. Aber diese müsste noch bedeutend vervollständigt werden, namentlich durch systematische Beobachtungen an den oben genannten Strahlen, wenn ``die Theorie der Refraction als Gegenstand der Geophysik'' behandelt werden sollte. Der neunte Abschnitt enthält hauptsächlich analytische Entwickelungen, welche sich an früher gebrauchte Formeln anschliessen. Im zehnten endlich wird untersucht, wie Abweichungen der Flächen gleicher Dichte und also gleicher Brechbarkeit der Atmosphäre von der angenommenen Kugelgestalt auf die Refraction wirken. Unter der Annahme, dass das Verhältnis der Hauptkrümmungen irgendwo von der Einheit sich so weit entfernt, als es die Erdabplattung im Maximum mit sich bringen kann, ergiebt sich, dass der Einfluss der Abweichungen von der sphärischen Schichtung auf die normale Componente der Refraction völlig unmerklich ist. Daher müssen die thatsächlich vorhandenen Refractionsanomalien durch eine Art Schlierenbildung in der Luft, welche sich ja auch im Sternfunkeln kundgiebt, oder durch eine Veränderlichkeit der Schichtung in ihr mit dem Wetter und der Jahreszeit, oder endlich durch noch unbekannte Ursachen erklärt werden.