On the exponential function. (Q5913468)

Ein sehr einfacher Beweis der Transcendenz von \(e\), der auf die Hermite'sche Formel \[ (1) \qquad \int_0^a e^{-xz} F(z) dz = F(0) - e^{-ax} F(a) \] gegründet ist, wo \(F(z)\) eine ganze rationale Function von \(z\) vom Grade \(M\) und \[ \text{F}(z) = \frac{F(z)}{x} + \frac{F'(z)}{x^2} + \dots + \frac{F^{(M)}(z)}{x^{M+1}} \] ist. Um zu zeigen, dass die Gleichung \[ N+ N_1 e^a + N_2 e^b + \dots + N_n e^h =0 \] unmöglich ist, wählt Stieltjes \[ F(z) = z^{\mu} (z-a)^{\mu + \kappa_1} (z-b)^{\mu + \kappa_2} \dots (z-h)^{\mu + \kappa_n}, \] wo die Bestimmung der ganzen Zahlen \(\mu, \kappa_1, \kappa_2, \dots, \kappa_n\), von denen die letzten \(n\) einen der Werte 0 und 1 erhalten, vorbehalten bleibt. Unter Benutzung der Formel (1) für \(x=1\) ergeben sich dann die Gleichungen \[ \frac{e^a}{\mu!} \int_0^a e^{-z} F(z)dz = e^a P-P_1, \quad \frac{e^b}{\mu !} \int_0^b e^{-z} F(z) dz = e^b P-P_2, \; \dots, \frac{e^h}{\mu !} \int_0^h e^{-z} F(z) dz = e^h P-P_n, \] wo \(P,P_1,P_2, \dots, P_n\) ganze Zahlen bedeuten. Es folgt nun weiter in bekannter Weise, dass für ein genügend gross gewähltes \(\mu\) die Gleichung \[ N_1 .e^a \int_0^a e^{-z} F(z) dz + N_2 e^b \int_0^b e^{-z} F(z) dz + \dots + N_n e^h \int_0^h e^{-z} F(z) dz=0 \] oder \[ \int_0^h \varPhi (z) .e^{-z} F(z) dz=0 \] bestehen muss, wo \(\varPhi(z)\) eine unstetige Function von \(z\), bedeutet, die in den Intervallen \(0, \dots, a\), bezw. \(a \dots b\) etc. die constanten Werte \(N_1 e^a + N_2 e^b + \dots + N_n e^h\), bezw. \(N_2 e^b + \dots + N_n e^h\) etc. besitzt. Die Function \(\varPhi (z) e^{-z} F(z)\) hat aber in dem Integrationsintervalle \(0 \dots h\) beständig einen positiven Wert, wenn \(\mu\) eine gerade Zahl ist und \(\kappa_1, \kappa_2, \dots, \kappa_n\) passend gewählt werden. Ist aber \(\varPhi(z) e^{-z} F(z)\) beständig positiv, so kann \(\int_0^h \varPhi (z) e^{-z} F(z) dz\) nicht \(=0\) sein, und also ist auch die Gleichung \[ N+ N_1 e^a + N_2 e^b + \dots + N_n e^h =0 \] unmöglich.