Zur nichteuklidischen Geometrie. (Q5913474)

Nach einer fast zwanzigjährigen Pause (vgl. F. d. M. III. 1871. 231, JFM 03.0231.02, und V. 1873. 271, JFM 05.0271.01) kehrt Herr Klein auf die nichteuklidische Geometrie zurück, um zu seinen berühmten Aufsätzen Erklärungen zu geben oder sie durch anderweitige Ideen zu bereichern, sowie auch, um einige Unrichtigkeiten zu verbessern, welche sich in einigen aus denselben hervorgegangenen Arbeiten befinden. Der Hauptinhalt des neuen Aufsatzes kann etwa folgendermassen dargelegt werden. I. ``Ueber Clifford's Ideen von 1873''. Es sei eine Fläche zweiten Grades \(F_2\) gegeben; man betrachte diejenigen Collineationen des Raumes, welche nicht nur die Fläche als solche in sich überführen, sondern auch jedes der beiden Systeme der auf ihr verlaufenden Geraden; unter ihnen sind zwei (``Schiebungen'' erster oder zweiter Art genannt) bemerkenswert: bei einer Schiebung erster oder zweiter Art bleiben, allgemein zu reden, zwei Erzeugende erster (oder zweiter) Art der Fläche punktweise fest, und es schreitet also jeder Raumpunkt auf derjenigen geraden Linie fort, die durch ihn so gelegt werden kann, dass sie diese beiden Erzeugenden trifft. Mit jeder Schiebung ist daher eine bestimmte lineare Congruenz verbunden, welche erster oder zweiter Art genannt werden soll. Zwei Schiebungen verschiedener Art sind vertauschbar; jede der oben erwähnten Collineationen der \(F_2\) in sich selbst kann als Product von zwei solchen Schiebungen angesehen werden. Die Schiebungen können durch höchst bemerkenswerte Formeln dargestellt werden, wie der Leser aus der Originalarbeit ersehen kann. Mit den vorstehenden Entwickelungen ist die Grundlage der neuen Parallelentheorie gegeben, welche Clifford auf folgende Erklärung gründete: als ``nichteuklidische Parallelen'' werden solche (windschiefe) gerade Linien bezeichnet, welche der nämlichen Congruenz (der einen oder anderen Art) angehören, d. h. welche dieselben beiden imaginären Erzeugenden derselben Art treffen; sie sind reell im elliptisch, imaginär im hyperbolischen Raum. Betrachtet man eine Fläche zweiten Grades, welche mit der Fundamentalfläche \(F_2\) ein geradliniges Vierseit gemein hat, so sind ihre Erzeugenden jeder Art im Clifford'schen Sinne unter einander parallel. Das Krümmungsmass der Fläche ist constant und gleich Null; die Gesamtfläche hat einen endlichen Flächeninhalt: so wird bewiesen, dass eine unbegrenzte Mannigfaltigkeit verschwindender Krümmung eine endliche Ausdehnung besitzen kann, was mit den gewöhnlichen Vorstellungen zu widerstreiten scheint. II. ``Von den verschiedenen (euklidischen oder nichteuklidischen) Raumformen''. Herr Klein wiederholt zuerst die Bemerkung, welche er in seinem ersten Aufsatz über die nichteuklidische Geometrie gemacht hat, dass seine elliptische Geometrie sich nicht mit der sphärischen Geometrie deckt; er beweist ferner, dass die Bezeichnung ``Polarform'' des sphärischen Raumes, welche Herr Killing (vgl. F. d. M. XVII. 1885. 508, JFM 17.0508.01) für den elliptischen Raum vorgeschlagen hat, unzutreffend ist. Endlich nimmt er folgendes Problem in Angriff: alle Zusammenhangsarten anzugeben, welche bei geschlossenen Mannigfaltigkeiten irgend welches constanten Krümmungsmasses überhaupt auftreten können. Er löst dasselbe für zweidimensionale Mannigfaltigkeiten vollständig; für dreidimensionale aber begnügt er sich mit der Bemerkung, dass es durch analoge Ueberlegungen aufgelöst werden kann, und mit dem Ausspruch des Wunsches, dass die Fragestellung von anderer Seite aufgenommen werde. III. ``Von der rein projectiven Begründung der analytischen Geometrie.'' Der Zweck des vorliegenden Abschnittes ist die Beseitigung eines Missverständnisses, welches die Entwickelungen des Verfs. in Math. Ann. IV u. VI verursacht haben. Die Herren Ball und Cayley sprachen ihre Bedenken folgendermassen aus: ``In that theory (the non-euclidian Geometry) it seems as we try to replace our ordinary notion of distance between two points by the logarithm of a certain anharmonic ratio. But this ratio itself involves the notion of distance measured in the ordinary way. How than we can supersede the old notion of distance by the non-euclidian notion, in as much as the very definition of the latter involves the former?'' (Ball, on the Theory of Contents; vergl. F. d. M. XX. 1888. 515, JFM 20.0515.02). ``It must however be admitted that in applying this theory of v. Staudt's to the theory of distance, there is at least the appearance of arguing in a circle'' (Cayley, Collected Papers, T. II, S. 605). Wenn man die meisterhaft klare Darstellungsart berücksichtigt, welche Herr Klein in allen seinen Arbeiten angewandt hat, so kann man den Ursprung dieses Missverständnisses nur in der zu geringen Verbreitung finden, welche die Methoden und die Begriffe Staudt's erlangt haben; wir hoffen, dass die neuen Entwickelungen nicht nur Sätze wie die obigen in Zukunft ausschliessen, sondern auch die Geometer auf die unsterbliche ``Geometrie der Lage'' und ihre ``Beiträge'' zurückführen werden! IV. ``Von der principiellen Bedeutung der projectiven Geometrie, nebst allgemeinen Bemerkungen über die geometrischen Axiome''. Diese Ueberlegungen, welche meistens psychologischer Natur sind, können in wenigen Sätzen nicht wiederholt werden. Man muss sie lesen und über sie nachdenken!