On certain arithmetic means of functions of a complex variable. (Q5913587)

Der Verfasser leitet zuerst den in den Math. Ann. XXXII. (vergl. F. d. M. XX. 1888. 248, JFM 20.0248.01) veröffentlichten ``Satz über Potenzreihen'' ab und giebt für denselben, sowie für den Rouché'schen Satz einen neuen Beweis, wendet seinen Satz auf die Reihen \[ e^x, \quad \sum_{n = 0}^{\infty}\;\frac{x^n}{(n!)^2}, \quad \sum_{n = 0}^{\infty}\;\frac{x^n}{2^n}, \quad \log \frac{1}{1 - x}, \quad \log(1 + x) \] an und begründet folgendes Theorem: Das arithmetische Mittel derjenigen Werte, welche der absolute Betrag der Function \(f(x)\) für alle Punkte des Kreises \(| x| = r\) durchläuft, ist kleiner als die Quadratwurzel aus dem arithmetischen Mittel der Quadrate dieser absoluten Beträge.