Sur l'arc-en-ciel. (Q5913760)

Beide Arbeiten (siehe auch JFM 20.1126.01) betreffen die überzähligen Bogen beim Regenbogen. Dieselben haben ihre vollständige Erklärung zuerst in der Theorie Airy's (Cambridge Trans. VI, 1836; Poggendorff's Annalen, Supplementband II) gefunden, welche auf der Betrachtung der Wellenfläche des aus dem Tropfen tretenden Lichtes, einer Rotationsfläche mit der Meridiancurve \[ y =\frac {x^3}{3a^2}, \] beruht. Für die Constante \(a^2\), die von Airy nicht weiter bestimmt wird, giebt jetzt Herr Boitel ohne Ableitung den Ausdruck \[ a^2 ={\Re}^2\;\frac {{\cos }^3J}{\sin J} \;\frac {(K +1)^2}{K(K +2)}, \] worin \(\Re \) den Radius der Wasserkugel bezeichnet, \(J\) den Einfallswinkel des Strahls, dessen Ablenkung ein Minimum ist, \(K\) endlich die Ordnungszahl des Bogens. Die mit Hülfe dieses Ausdrucks gefundenen Zahlenwerte für die Ablenkungen der verschiedenen Bogen stimmen nun mit den Beobachtungen von Miller sowie mit den vom Verfasser angestellten nicht überein, und zwar wächst die Differenz zwischen Beobachtung und Rechnung mit der Ordnungszahl des Bogens. Aus diesem Grunde hält Herr Boitel die Airy'sche Theorie unr für eine erste Annäherung; er teilt zugleich mit, dass er an einer Verbesserung der Theorie arbeite. Herr Mascart behandelt das in der Airy'schen Theorie für die resultirende Intensität aufgestellte Integral \[ u =\int^{\infty }_0 \cos (x^3 -mx)dx. \] Ein angenäherter Wert desselben ist, nach einer Mitteilung von Poincaré, für grosse \(m\) [\(m\) ist der Winkeldistanz des betrachteten Bogens vom Hauptbogen proportional] \[ u =\frac {\alpha }{\sqrt {m}} \cos \left (\frac {m^{\frac {3}{2}}\sqrt {2}}{3} +\beta \pi \right ). \] Aus diesem Ausdruck folgt leicht, für welche Werte von \(m\) die Maxima stattfinden, falls man für die Constante \(\beta \) den aus Beobachtungen entnommenen Wert \(\frac 14\) setzt. Die so gewonnenen Resultate stimmen mit der Erfahrung ziemlich gut überein.