Dichte der Sehnen von Flächen und ebenen Curven. (Q5913835)

Ist \((F)_0\) ein unendlich kleines Stück einer geschlossenen Fläche \(F\), \(O\) der Mittelpunkt und \(\varepsilon\) der unendlich kleine Radius einer im Innern von \(F\) befindlichen Kugel \(K\), so wird als doppelte Dichte der Sehnen im Punkte \(O\) für verschwindendes \(\varepsilon\) der Ausdruck definirt: \[ 2D=\iint d^2F\lim\frac{(F)_0}{2R\varepsilon^2}\,. \] Darauf wird die Fläche \(F\) nebst dem Punkte \(O\) auf ein System räumlicher Polarcoordinaten bezogen und \(D\) mittels dieser Coordinaten ausgedrückt. Ein ähnliches Resultat ergiebt sich für eine an die Stelle von \(F\) tretende convexe ebene Curve, oder für äussere Lagen des Punktes \(O\). Das Resultat ändert sich nicht, wenn man, statt von der Kugel \(K\), von einem Ellipsoid ausgeht. Als Beispiele dienen die Kugelfläche, der Kreis und die Tetraederfläche.