On binary sextics with linear transformations into themselves. (Q5913918)

Die Arbeit zerfällt in drei Abschnitte. Im ersten werden alle binären Formen sechster Ordnung aufgestellt, welche durch die lineare Transformation \[ \left. \begin{matrix} x_1=px_1'+qx_2' \\ x_2=p'x_1'+q'x_2' \end{matrix} \right\} pq'-p'q=1 \] bis auf einen Factor ungeändert bleiben; es gelingt dies dadurch, dass sich die Gruppe \(G\) dieser Substitutionen als endliche Gruppe erweisen lässt, weshalb sie zu den bekannten sechs endlichen Gruppen linearer Substitutionen gehören muss. Anschliessend an F. Klein's Vorlesungen über das Ikosaeder ergeben sich dann unmittelbar die zu diesen sechs Gruppen gehörigen sechs Binärformen sechster Ordnung. Indem sich der Verfasser sodann im zweiten Teile die Aufgabe stellt, die notwendigen und hinreichenden Kriterien dafür zu finden, dass eine gegebene Binärform sechster Ordnung durch lineare Transformation auf eine der gefundenen sechs Formeln reducirt werden könne, findet er, dass dieselben in allen Fällen durch das Verschwinden gewisser Invarianten ausgedrückt sind. Die erwähnten Bedingungen werden von Clebsch (Theorie der binären Formen) für die zu den cyklischen Gruppen \(n = 2\) und \(n = 5\) gehörigen Formen vollständig gegeben, während Maisano (Sulla sestica binaria. Atti d. R. Accademia d. Lincei 1883-84, cf. F. d. M. XV. 82 und XVI. 94, siehe JFM 15.0082.02; JFM 16.0094.02, JFM 16.0094.04) sie für die übrigen vier Fälle durch das Verschwinden von gewissen Covarianten darstellte. Diese Frage ist eng verknüpft mit der Feststellung der Bedingungen, unter welchen eine gegebene Binärform sechster Ordunug \(f\) durch lineare Transformation in eine andere \(f'\) übergeführt werden kann. Im allgemeinen ist notwendig und genügt hiezu, wie Clebsch nachgewiesen hat, die Gleichheit der rationalen absoluten Ivarianten. Da aber die von ihm benutzte typische Darstellung nicht in allen Fällen möglich ist, so stellt sich der Verfasser die Frage, ob dieselbe Bedingung auch notwendig und hinreichend ist, wenn die typische Darstellung versagt, und gelangt durch eine eingehende Untersuchung schliesslich zu dem Theorem: ``Zwei binäre Formen sechster Ordnung, welche keinen drei- oder mehrfachen Linearfactor besitzen, können durch lineare Substitution in einander übergeführt werden, wenn ihre entsprechenden rationalen, absoluten Invarianten gleich sind; diese Gleichheit genügt aber nicht, wenn eine der Formen einen solchen vielfachen Factor besitzt.'' Im dritten Abschnitte werden die Relationen zwischen den transcendenten Invarianten, d. h. den Moduln \(\tau_{11},\tau_{12},\tau_{22}\) der Binärformen sechster Ordnung aufgestellt, welche den zwischen den algebraischen Invarianten bestehenden Beziehungen entsprechen. Zunächst wird bewiesen, dass, wenn eine Binärform sechster Ordnung \(f\) mit lauter ungleichen Wurzeln lineare Substitutionen in sich besitzt, jeder linearen Substitution \(S\) der Variabeln, welche \(f\) invariant lässt, eine lineare Transformation \(s\) der Perioden entspricht, die das Wertsystem \(\tau_{11},\tau_{12},\tau_{22}\) invariant lässt, und umgekehrt. Die Gleichungen, welche ausdrücken, dass das System der \(\vartheta\)-Moduln bei der Periodentransformation \(s\) invariant bleibt, stellen dann die gesuchten Relationen zwischen den \(\tau_{\alpha\beta}\) dar. Aus dieser Ableitung ergiebt sich, dass diese Beziehungen Kanten und Ecken des bisher noch unbekannten Fundamentalraumes für die hyperelliptischen Modulfunctionen vorstellen. Die Bestimmung der linearen Periodentransformation wird dadurch bewerkstelligt, dass man die conforme Abbildung des bei der Berechnung der \(\tau_{\alpha\beta}\) zu Grunde gelegten Systems von Periodenwegen betrachtet, welche durch die linearen Substitutionen \(S\) der Variabeln der Binärform vermittelt werden, und zwar genügt in allen Fällen die Betrachtung einer einzigen Substitution, um alle zwischen den \(\tau_{\alpha\beta}\) bestehenden Relationen zu erhalten. Diese Relationen erweisen sich dann auch nicht nur als die notwendigen, sondern auch als die hinreichenden Bedingungen für die Transformirbarkeit der Binärformen.