Sulla derivazione covariante ad una forma quadratica differenziale. (Q5913922)

Ist die quadratische Differentialform: \[ \varphi^2=\sum_{rs}^n a_{rs} dx_r dx_s \] vorhanden, deren Discriminante durch \(a\) bezeichnet werden möge, und ist \(U\) eine beliebige Function von \(x_1,x_2,\dots,x_n\), so sind \(U_r = \frac{\partial U}{\partial x_r}\) offenbar die Coefficienten einer zu \(\varphi^2\) covarianten Differentialform. Dieselbe Eigenschaft kommt denjenigen Functionen mit je \(p+1\) Indices \(U_{r_1r_2\dots r_{p+1}}\) zu, welche durch die recurrirende Gleichung: \[ U_{r_1r_2\dots r_{p+1}} = \frac{\partial U_{r_1r_2\dots r_p}}{ \partial x_{r_{p+1}}} - \sum_{qs} c_{qs} \sum_{h=1}^p a_{r_hr_{p+1},s} U_{r_1r_2\dots r_{h-1} r_{h+1} \dots r_n} \] definirt werden, wo: \[ c_{rs}=\frac{\partial \text{ lg }a}{\partial a_{rs}},\quad 2a_{rs,i} = \frac{\partial a_{ri}}{\partial x_s} + \frac{\partial a_{si}}{\partial x_r} - \frac{\partial a_{rs}}{\partial x_i} \cdot \] Diese Functionen \(U_{r_1r_2\dots}\) können füglich als ``in Bezug auf die Form \(\varphi^2\) covariante Ableitungen'' bezeichnet werden. Die Indices der covarianten Ableitungen sind im allgemeinen nur bis zur zweiten Ordnung commutativ; sie sind aber unbedingt vertauschbar bei jeder Ordnung der Ableitung, wenn \(\varphi\) das Linienelement einer ebenen Mannigfaltigkeit darstellt, wenn nämlich die Relationen stattfinden: \[ 0=\frac{\partial a_{r_hr_p,u}}{\partial x_{r_{p-1}}} - \frac{\partial a_{r_hr_{p-1},u}}{\partial x_{r_p}} + \sum_{s,t} c_{st} \{ a_{r_hr_{p-1},s} a_{ur_p,t} - a_{r_hr_p,s} a_{ur_{p-1},t} \}. \]