On the discrimination of maxima and minima solutions in the calculus of variations. (Q5913960)

Der Verf. bezieht sich auf die Untersuchungen Jacobi's und anderer, und er stellt als den Hauptzweck seiner Arbeit den Nachweis hin, dass eine strenge Erörterung der endgültigen Bedingungen ohne die Einführung irgend welcher analytischen Transformationen gegeben werden kann, indem die Ergebnisse durch Schlussfolgerungen aus den Grundbegriffen der Variations-Rechnung erzielt werden. Der erste Teil jedoch enthält eine analytische Methode, die zu Jacobi's Transformation führt und hauptsächlich wegen des geschichtlichen Interesses der Aufgabe aufgenommen ist. Hr. Culverwell hatte diese Methode verallgemeinert, um die Kriterien für den Fall eines beliebigen Integrals zu erhalten, als er erst gewahr wurde, dass die Ergebnisse nicht völlig neu waren. Nachdem er die Grenzen gefunden hatte, bis zu welchen hin die Kriterien ausreichten, wurde er auf die allgemeine Methode geführt, welche im zweiten Teile gegeben wird, der in sich abgeschlossen ist. Die betrachtete Form ist die eines mehrfachen Integrals \( U \), dessen Integrand eine beliebige Anzahl unabhängiger und abhängiger Variabeln nebst den Ableitungen der abhängigen bis zu einer beliebigen Ordnung enthält. In Anlehnung an geometrische Begriffe wird das Integral synklastisch oder antiklastisch genannt, je nachdem die zweite Variation \( \delta^2 U \) dasselbe Zeichen behält, was für eine Function von \( x \) auch \( \delta y \) ist, oder das Zeichen für verschiedene Werte von \( \delta y \) wechselt. Das Kriterium für ein Maximum oder ein Minimum der Function wird zuerst in dem Falle aufgesucht, wenn der Integrationsbereich klein ist, und hieraus leitet der Verf. durch Betrachtungen, die auf der Continuität der Integrale beruhen, die Kriterien für den Fall her, wenn der Integrationsbereich eine beliebige endliche Grösse hat. Der folgende von ihm aufgestellte Satz (obschon nicht völlig verständlich ausserhalb des Zusammenhanges) zeigt den allgemeinen Charakter seiner Ergebnisse. ``Wenn es möglich ist, um jeden Punkt \(P\) in einem Bereiche \( B \) von endlicher Grösse einen kleineren Bereich \( (b) \) ohne Rücksicht auf die Kleinheit so anzunehmen, dass das Integral \( U \) für jenen Bereich synklastisch ist, so ist auch das Integral für den ganzen Bereich \( B \) synklastisch, falls die fernere Bedingung erfüllt ist, dass es unmöglich ist, innerhalb des Bereiches \( B \) eine zweite synklastische Fläche \( b' \) anzunehmen, die in allen Punkten ihres begrenzenden Schnittes mit der ersten dieselben Werte für die abhängigen Variabeln und für alle ihre Ableitungen mit Ausnahme der höchsten hat. Wenn es möglich ist, eine solche Fläche zu finden, so ist das Integral \( U \) antiklastisch für den Bereich \( B \).''