On certain arithmetic means of functions of a complex variable. (Q5913961)

Der Verfasser stellt folgenden Satz auf: Das arithmetishce Mittel der Quadrate der Moduln aller Werte, die die Reihe \(f(x)=\sum^{\infty}_{\nu=0}a_{\nu}x^{\nu}\) längs eines Kreises \(|x|=r\), der innerhalb des Convergenzbereichs liegt, haben kann, ist gleich der Summe der Quadrate der Moduln der Glieder der Reihe. Er giebt für diesen Satz zwei verschiedene Beweise; der eine stützt sich auf die Theorie der Reihen, der andere auf eine Integralformel, die von A. Harnack aufgestellt ist und aus der einige Folgerungen gezogen werden. Der Aufsatz schliesst mit einem neuen Beweise des von Herrn Rouché aufgestellten Satzes, dass das arithmetische Mittel aller Werte von \(\frac{f(x)}{x^n}\), welche zu einem bestimmten Werte des Moduls der Veränderlichen \(x\) gehören, gleich dem Coefficienten \(a_n\) ist.