Electrical oscillations on cylindrical conductors. (Q5914027)

Ein langer leitender Kreiscylinder vom Radius \(a,\) dessen Axe zur \(z\)-Axe genommen sei, befinde sich in einem Dielektricum (z. B. Luft); es seien \(\sigma\) und \(\mu\) der specifische Widerstand und die magnetische Permeabilität des Cylinders, \(\mu'\), und \(K\) die magnetische Permeabilität und die specifische inductive Capacität des Dielektricums (alles in elektrostatischem Mass), also \(\frac{1}{\mu'K}+V^2,\) wo \(V\) die Lichtgeschwindigkeit im Dielektricum bezeichnet; sind \(\sigma_m\) und \(\mu_m=1+4\pi k\) die Werte von \(\sigma\) und \(\mu\) in elektromagnetischen Mass, so ist \(\frac \sigma\mu=\frac {\sigma_m}{\mu_m}=\gamma.\) (Z. B. für Kupfer ist \(\sigma_m=1500\), \(\mu_m=1,\) also \(\gamma=1500\); für Eisen \(\sigma_m=6.1500\), \(\mu_m=400,\) also \(\gamma=22\)). Mit den bekannten Maxwell'schen Bezeichnungen, wobei \(\varphi\) das elektrostatische Potential bedeutet, gelten für den Cylinder, wenn nur auf seiner Oberfläche freie Elektricität vorhanden ist, die Gleichungen \[ \sigma u=-\frac{dF}{dt}-\frac{d\varphi}{dx},\quad 4\pi\mu u=-\varDelta F, \] \[ \frac{du}{dx}+\frac{dv}{dy}+\frac{dw}{dz}=0,\quad \varDelta\varphi=0, \] woraus, wenn alle Functionen den Factor \(e^{i(mz+pt)}\) enthalten, \[ (1) \quad\varDelta\left(F-\frac ip \;\frac{d\varphi}{dx} \right)=\frac{4\pi ip}{\gamma}\left(F-\frac ip\;\frac{d\varphi} {dx}\right) \] \[ (2)\quad \frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}=0,\qquad (3)\quad \varDelta\varphi=0. \] Hiernach ist \(H=\frac ip\;\frac{d\varphi}{dx}+H_1\), wo \(\varDelta H_1=\frac{4\pi ip}{\gamma}\;H_1,\) oder wenn man Cylindercoordinaten \(\varrho,z\) einführt und \[ (4)\quad n^2=m^2+\frac{4\pi ip}{\gamma}\quad\text{setzt}, \] \[ \text{(a)}\quad\;\frac{d^2H_1}{d\varrho^2}+\frac 1\varrho\;\frac{dH_1}{d\varrho}-n^2 H_1=0,\quad\text{also}\quad H_1=BJ_0(in\varrho)e^{i(mz+pt)}, \] wo \(J_0(x)\) die Bessel'sche Function \(0^ter\) Ordnung (nach der Definition von Hankel und Lommel) bezeichnet, welche bekanntlich der Gleichung \[ \frac{dJ_0(x)}{dx}=-J_1(x) \] genügt. Ferner ist \[ \frac{d^2\varphi}{d\varrho^2}+\frac1\varrho\;\frac{d\varphi} {d\varrho}-m^2\varphi=0,\quad\text{also}\quad \varphi=AJ_0 (im\varrho)e^{i(mz+pt)}, \] mithin \[ \text{(b)}\quad H=\left[BJ_0(in\varrho)-\frac m p\;AJ_0(im\varrho) \right]e^{i(mz+pt)}. \] Ferner \(F_1=\frac{d\chi}{dx}\), \(G_1=\frac{d\chi}{dy},\) wo \(\chi\) der Gleichung (a) genügt, also \(\chi=CJ_0(in\varrho)e^{i(mz+pt)}\), mithin \[ \text{(c)}\quad\begin{aligned} & F=-\frac{d\varrho}{dx}\left[inCJ_1(in\varrho)-\frac m p AJ_1(im\varrho)\right]e^{i(mz+pt)},\\ & G=-\frac{d\varrho}{dy}\left[inCJ_1(in\varrho)-\frac m p AJ_1(im\varrho)\right]e^{i(mz+pt)}.\end{aligned} \] Aus Gleichung (2) folgt \[ \text{(d)}\quad C=-\frac{im}{n^2} B. \] Für das Dielektricum gelten die Gleichungen \[ \frac{4\pi}{K}\;f=-\frac{dF}{dt}-\frac{d\varphi}{dx},\quad u=\frac{df}{dt}, \quad 4\pi\mu'u=-\varDelta F, \] \[ \frac{df}{dz}+\frac{dg}{dy}+\frac{dh}{dz}=0,\quad \varDelta\varphi=0, \] woraus, wenn wieder alle Functionen den Factor \(e^{i(mz+pt)}\) enthalten, \[ (1^{\mathrm a})\quad \varDelta\left(F-\frac ip\;\frac{d\varphi}{dx}\right)=-\frac{p^2}{V^2}\left(F-\frac ip\;\frac{d\varphi}{dx}\right), \] \[ (2^{\mathrm a})\quad \frac{dF}{dx}+\frac{dG}{dy}+\frac{dH}{dz}=0,\quad (3^{\mathrm a})\quad \varDelta\varphi=0. \] Setzt man also \[ (4^{\mathrm a})\quad k^2=m^2-\frac{p^2}{V^2},\quad H=\frac ip\;\frac{d\varphi} {dz}+H_1, \] so wird \[ (\text{a}')\quad \;\frac{d^2H_1}{d\varrho^2}+\frac 1\varrho \;\frac{dH_1}{d\varrho}-k^2 H_1=0, \] also \[ H_1=B'Y_0(ik\varrho)e^{i(mz+pt)}, \] wo \(Y_0(x)\) die zweite Bessel'sche Function \(0^{\mathrm ter}\) Ordnung (nach der Definition von Hankel) bezeichnet, welche der Gleichung \(\frac{dY_0(x)}{dx}=-Y_1(x)\) genügt. (Der Verf. setzt \(-\frac 1 2 Y_0(x)=I_0(x)\)). Ferner \(\varphi=A'Y_0(im\varrho)e^{i(mz+pt)}.\) Folglich \[ (\text{b}')\quad H=\left[B'Y_0(ik\varrho)-\frac m p\;A'Y^0(im\varrho)\right]e^{i(mz+pt)}. \] Ferner wie oben \(\chi=C'Y^0(ik\varrho)e^{i(mz+pt)}\), also \[ (\text{c}')\quad F=\frac{d\chi}{dx}+\frac i p\;\frac{d\varphi}{dx}=-\frac{d\varrho}{dx}\left[ikC'Y_1(ik\varrho)-\frac m p\;A'Y_1(im\varrho)\right] e^{i(mz+pt)}, \] \[ (\text{d}')\quad C'=-\frac{im}{k^2}\;B'. \] Die Bedingung der Continuität von \(F, G, H\) und ihrer ersten Differentialquotienten, sowie von \(\varphi\) für \(\varrho=a\) liefert ein System von Gleichungen, aus denen folgt \[ (5)\quad \;\frac{ina J_0(ina)}{J_1(ina)}=-\frac{4\pi V^2} {\gamma p}\;\frac{ika Y_0(ika)}{Y_1(ika)}\cdot \] Nun ist, wenn die Schwingungszahl \(\frac{p}{2\pi}\) nicht sehr gross ist, \(\frac{V^2}{\gamma p}\) sehr gross (z. B. für den obigen Wert \(\gamma=1500\) und für \(\frac{p}{2\pi}=300\), \(\frac{V^2}{\gamma p}=4.10^{14}),\) also ist \(\frac{ika\,Y_0(ika)} {Y_1(ika)}\) sehr klein, mithin \(ka\) sehr klein; dann ist aber nach Hankel, wenn man \[ \log\delta=0,577-\log 2, (\delta ika)^2 =\xi\;\text{setzt}, \] \[ \;\frac{ika Y_0(ika)}{Y_1(ika)}=-\frac{1}{2\delta^2}\;\xi\log\xi, \] wodurch die Gleichung (5) übergeht in \[ (5^{\mathrm a})\quad \xi\log \xi=-i\;\frac{\delta^2\gamma p}{2\pi V^2}\;\frac{inaJ_0(ina)}{J_1(ina)}. \] (a) Es sei \(na\) so klein, dass man \(\frac{inaJ_0(ina)}{J_1(ina)}=2\) setzten kann; dann geht (5\(^{\mathrm a}\)) über in \[ (5^{\mathrm b})\quad \xi\log\xi=-i\;\frac{\delta^2\gamma p}{\pi V^2}=-iN, \] wo \(N\) sehr klein ist. Setzt man \[ \xi=N\eta e^{i\left(\frac \pi 2+\chi\right)},\quad \chi=\eta\psi, \] wo \(\eta\) so klein ist, dass man \(\cos\chi=1\), \(\sin\chi=\chi\) setzten kann, so zerfällt die Gleichung in \[ (e)\quad \eta\log\;\frac{1}{N\eta}=1,\quad \chi=\frac \pi 2\;\frac{\eta}{1-\eta}, \] und man erhält \[ k^2=-\frac{\xi}{\delta^2a^2}=\frac{\gamma p}{\pi a^2V^2}\;\eta\left(\frac\pi 2\;\eta-i\right), \] \[ (6)\quad m^2=\frac{p^2}{V^2}+k^2=\frac{P^2}{V^2} \left (1+\frac{\gamma\eta^2}{2a^2p}-i\;\frac{\gamma\eta}{\pi a^2p}\right), \] \[ n^2a^2=m^2a^2+i\;\frac{4\pi a^2p}{\gamma}=\frac{p^2}{V^2}\left (a^2+\frac{\gamma\eta^2}{2p}\right)+ip\left({4\pi a^2}{\gamma}-\frac{\gamma\eta}{\pi V^2}\right). \] Setzt man den aus Gl. (6) folgenden Wert \(m=-m_0+im_1\), also \(e^{i(mz+pt)}=e^{-m_1z}e^{-i(m_0z-pt)},\) so erhält man eine Schwingung mit dem Exstinctionscoefficienten \(m_1\), deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit \(V_0=\frac{p}{m_0}\) von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit ist; mit den obigen Werten \(\gamma=1500, \;\frac{p}{2\pi}=300\) ergiebt sich aus (e) \(\eta=0,026\), \(\frac{4\pi p}{\gamma}=16,\) mithin ist \(na\) für hinreichend kleine Werte von \(a\) in der That klein. b) Es sei \(na\) so gross, das man \(\frac{inaJ_0(ina)}{J_1(ina)}=na\) setzten kann; dann geht (\(5^{\mathrm a}\)) über in \[ \xi\log\xi=-i\;\frac{\delta^2\gamma p na}{2\pi V^2}, \] demnach wenn man wieder \(m\) als sehr klein annimmt, also \( n=(1+i)\sqrt{\frac{2\pi p}{\gamma}}\) setzt, \[ (5^{\mathrm c})\quad\xi\log\xi=(1-i)\delta^2 a\;\frac{p^2}{V^2}\sqrt{\frac{\gamma}{2\pi p}}=(1-i)M, \] welche Gleichung sich in derselben Weise wie Gl. \((5^{\mathrm b})\) auflösen lässt. Man erhält so, wenn \(\xi=M\zeta e^{i\varphi}\) setzt und \(\zeta\) durch die Gleichung \[ \zeta\log{}\;\frac{1}{M\zeta}=\sqrt{2} \] bestimmt, \[ (6^{\mathrm a})\quad m^2=\frac{p^2}{V^2}+k^2=\frac{p^2}{V^2}\left (1+\frac {\zeta}{2a}\sqrt{\frac{\gamma}{\pi p}}-i\;\frac{\zeta} {2a}\;\sqrt {\frac{\gamma}{\pi p}}\right), \] also eine Schwingung, deren Fortpflanzungsgeschwindigkeit wieder von der Ordnung der Lichtgeschwindigkeit ist. Die obige Bedingung für \(na\) ist z. B. für Eisen mit den obigen Werten, \(\gamma=22\), \(\frac{p}{2\pi}=300,\) wobei \(n=(1+i)\;\frac{33}{\sqrt {2}}\) ist, für nicht zu kleine Werte von \(a\) erhält. In analoger Weise behandelt der Verfasser noch den Fall eines submarinem Kabels, d.h. eines leitenden Cylinders, welcher von einer isolirenden Hülle umgeben ist und sich in einem Leiter von grossem specifischen Widerstand (Wasser) befindet.