On multiple algebra. (Q5914047)

Diese an die Versammlung der Am. Assoc. in Buffalo gerichtete Denkschrift enthält eine lichtvolle und durch passend gewählte einfache Beispiele illustrirte Auseinandersetzung der mannigfachen Anwendungen, welche die Algebra der mehrfachen Einheiten (hyperimaginären Grössen) auf die verschiedensten Zweige der reinen und angewandten Mathematik gestattet, und der grossen Vorteile, welche diese Algebra äusserlich als ``arbeitsparendes Werkzeug'', innerlich dadurch gewährt, dass sie an die Stelle einer durch willkürlich gewählte Symbole und sonstige Auskunftsmittel erzeugten künstlichen Einfachheit der Rechnungsausdrücke die wahre Einfachheit setzt, welche aus der Wahl der dem Gegenstande der Untersuchung sich am natürlichsten anpassenden Methoden hervorgeht. Der Verfasser beginnt mit einer chronologischen Uebersicht der grundlegenden Charakteristiken. Wir begegnen hier den Namen Möbius, Hamilton, Grassmann, St. Venant, Cauchy, Cayley, Hankel, Peirce, Sylvester. In dem zeitlichen Zusammentreffen der Arbeiten von Hamilton, Grassmann und St. Venant sieht der Verfasser ein Zeichen, dass schon damals (anfangs der vierziger Jahre) die Entwickelung der Geometrie dem Hülfsmittel zustrebte, welches ihr durch die Algebra der mehrfachen Einheiten geboten wird, während andrerseits der lange Zeitraum, welchen diese Methoden gebrauchten, um sich allgemeinere Anerkennung zu verschaffen, ihm beweist, dass die damalige Zeit für dieselben noch nicht reif war. In der Beachtung und Ausbildung, welche diese Methoden in der Gegenwart finden, erblickt der Verfasser den bedeutsamsten Fortschritt der Algebra und ein für unsere Zeit charakteristisches Merkmal derselben. Den hier und da noch dagegen bestehenden Widerstand erklärt der Verfasser durch die Einseitigkeit, mit der auch in geometrischen Dingen der Standpunkt der gewöhnlichen (double) Algebra festgehalten wird. Dieser Einseitigkeit gegenüber verweist er auf die Beispiele Cayley's mit seiner ``Theory of matrices'', und Sylvester's mit seinen ``Lectures on the principles of Universal Algebra''. -- Im übrigen stellt er die Grassmann'schen Methoden als die umfassenden in den Vordergrund, versäumt auch nicht, speciell für diese Methoden Autoritäten wie Hankel und Clebsch zu citiren und Beispiele anzuführen, wie Autoren, die diesen Methoden fernstehen, auf dem Wege der abkürzenden Symbolik von selbst zu Bezeichungen und Operationen gelangt sind, die mit den Grassmann'schen ganz oder im wesentlichen übereinstimmen. Damit ist in der That das Vorhandensein der Kraft, mit welcher die Entwickelung der Wissenschaft von selbst diesen Methoden zustebt, dargethan. Als Hauptbeispiele für den Nutzen der ``Multiple Algebra'' wählt der Verfasser das Multiplications-Theoren, sowie die sonstige Theorie der Determinanten, eine Grundgleichung in Lagrange's Mécanique analytique und die homogen Coordinaten. Manche von ihm als möglich und voraussichtlich fruchtbar angedeuteten weiteren Anwedungen sind übrigens thatsächlich schon ausgeführt, so die auf Invariantentheorie und symbolische Curvengleichungen bezüglichen durch den Referenten in seinem ``System der Raumlehre''. Auch die Anwendungen auf die neuerdings so sehr in den Vordergrund tretende \(n\)-dimensionale Geometrie hätten hier erwähnt werden können. An die obigen Beispiele schliesst sich eine eingehende Erörterung der verschiedenen Productbildungen der Ausdehnungslehre, wobei auf die Verschiedenheit der Anwendungsgebiete von Punkt- und Strecken-Rechnung aufmerksam gemacht wird. Den Schluss bildet ein kurzer Abschnitt über die Anwendungen auf Differential- und Integral-Rechnung. Die ganze Arbeit ist ein neuer Beweis des regen Interesses, welches die transatlantischen Mathematiker den Arbeiten unseres berühmten Landsmannes entgegenbringen. Dass für die Geometrie, sobald sie das beengende Gebiet der reellen und imaginären Zahlen verlässt, um sich auf den ihrer Natur angemessenen Boden der vielfachen Einheiten zu stellen, der Gegensatz zwischen analytischer und synthetischer Behandlung seinen Ausgleich findet, hebt auch der Verfasser hervor. Und da in neuerer Zeit auch die Analysis sich von der Hülfe, welche ihr die Geometrie durch Veranschaulichung ihrer Methoden und Resultate gewähren kann, loszusagen beginnt, so dürfte eine ausgesprochenere Scheidung der Untersuchungsmethoden für Analysis und Geometrie nur noch eine Frage der Zeit sein.