On a transcendental function. (Q5914089)

Die Function, welche Herr Hölder untersucht, ist durch die Differentialgleichung \(y' = x\pi \text{cotg} (x\pi).y\), mit der Bedingung \(y=1\) für \(x=0\), definirt. (Sie lässt sich also auch durch die Gleichung \(y= F(x) = e^{\int_0 x \pi \text{cotg} (x\pi).dx}\) erklären.) Aus der Partialbruchzerlegung von cotg\(x\pi\) folgert Herr Hölder die Darstellung von \(F(x)\) in Form eines unendlichen Productes: \[ F(x) = e^x \cdot \frac{\prod \left\{ \left( 1 - \frac xn \right)^n e^{x+ \frac 12 \frac{x^2}{n}} \right\} }{\prod \left\{ \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n e^{-x + \frac 12 \frac{x^2}{n}} \right\}}, \quad (n=1,2,\dots, \infty), \] aus welcher Darstellung der analytische Charakter der Function \(F(x)\) ersichtlich ist. Die hauptsächlichsten von \(F(x)\) leitet Herr Hölder aus der Differentialgleichung ab, bemerkt jedoch, dass dieselben auch auf Grund der Product-Entwickelung von \(F(x)\) bewiesen werden können. Diese Eigenschaften sprechen sich in folgenden Gleichungen aus: \[ (1) \qquad F(-x) = \frac{1}{F(x)} ; \qquad (2) \quad F(x)F(1-x) = 2\sin x\pi; \] \[ (3) \quad \prod_{\nu =0}^{r-1} \left[ F \left( x + \frac{\nu}{r} \right) \right]^r = 2^{\frac{r(r-1)}{2}} \prod_{\nu =1}^{r-1} \left[ \sin \left( x + \frac{\nu}{r} \right) \pi \right]^{\nu} F(rx). \] In der letzten Gleichung bedeutet \(r\) irgend eine positive ganze Zahl. Auf die Function \(F(x)\) lässt sich die von Euler, Legendre und Abel betrachtete Function \[ \psi(z) = z + \frac{z^2}{2^2} + \frac{z^3}{3^2} + \cdots =- \int_0 \log (1-z) d \log z \] zurückführen. Man setze nämlich \(z= 1- e^{-2\pi ix}\), so ist \[ F(x) = e^{\frac 12 \pi i x^2 + \frac{1}{2\pi i} \psi (z)}, \] wobei die Variabilität von \(x\) so zu beschränken ist, dass \(| z | <1\) wird, weil nur für diese Werte von \(z\) die Reihe \(\psi(z)\) convergirt. Aus der letzten Gleichung folgen noch asymptotische Werte für \(F(\pm i\beta)\), unter \(\beta\) eine positiv unendlich werdende Größe verstanden.