On the square of the series in which the coefficients are the sums of the divisors of the exponents. (Q5914172)

Die Reihe, auf welche die Arbeit Bezug hat, ist \[ \sigma(1)x+\sigma(2)x^2+\sigma(3)x^3+\sigma(4)x^4+\cdots, \] wo \(\sigma(n)\) die Summe der Divisoren der Zahl \(n\) bedeutet. Der Verfasser findet, dass das Quadrat dieser Reihe gleich ist: \[ \tfrac {1}{12} [\{ 5\sigma_3(2)-11 \sigma (2)\} x^2+\{ 5 \sigma_3(3)-17 \sigma (3) \} x^3 + \{ 5 \sigma_3 (4)-23 \sigma (4) \} x^4 +\cdots ], \] wo \(\sigma_3(n)\) die Summe der Kuben der Divisoren von \(n\) bezeichnet. Das allgemeine Glied dieser Reihe ist \(\{5 \sigma_3(n)-(6n-1) \sigma(n)\}x^n\). Man kann dies Theorem auch in der rein algebraischen Form schreiben: \[ 12 \left\{ \sum^{\infty}_{1}\;\frac{nx^n}{1-x^n} \right\}^2= \sum_1^{\infty}\;\frac {(5n^3+1)x^n}{1-x^n}- \sum^{\infty}_{1}\;\frac{6n^2x^n}{(1-x^n)^2} \] Das Resultat wird mit Hülfe der Formeln aus der Theorie der elliptischen Functionen erhalten: \[ \frac{4K(I+G+E)}{\pi^2}\;=\;1-24 \sum^{\infty}_{1} \sigma (n)q^{2n}, \] \[ \frac{16K^2(I+G+E)^2}{\pi^2}= 1+48\;\sum^{\infty}_{1} \{5 \sigma_3 (n)-6n \sigma (n) \}, \] die bewiesen werden.