Contributions to the theory of elliptic functions. (Q5914342)

Die erste Note betrifft die von Herrn Cayley gegebene Formel \[ \begin{multlined} -k{k'}^2\text{sn}u.\text{sn}v.\text{sn}r.\text{sn}s +k^2\text{cn}u.\text{cn}v.\text{cn}r.\text{cn}s \\ -\text{dn}u.\text{dn}v.\text{dn}r.\text{dn}s+{k'}^2=0\quad (u+v+r+s=0), \end{multlined} \] (s. F. d. M. XI. 1879. 288, JFM 11.0287.05). Für dieselbe hat Herr Hermite einen Beweis gegeben, der sich auf das Additionstheorem für die zweite Gattung der elliptischen Integrale stützt (Acta Math. I. 368; s. F. d. M. XV. 1883. 386, JFM 15.0386.02). Herr Schröter zeigt, dass diese Formel direct aus dem urspünglichen Additionstheoreme der eigentlichen elliptischen Functionen: \[ \begin{aligned} & \text{cn}u.\text{cn}v=\text{cn}(u+v)+\text{sn}u.\text{sn}v\text{dn}(u+v),\\ & \text{dn}u.\text{dn}v=\text{dn}(u+v)+k^2\text{sn}u.\text{sn}v\text{cn}(u+v) \end{aligned} \] (Jacobi, Werke II. 325) fliesst. Auch ergiebt sich diese Relation als specieller Fall aus dem bekannten Fundamentaltheorem für das Product von vier Thetafunctionen (Jacobi I. 507). In der zweiten Note bemerkt Herr Schröter, dass man angesichts der einfachen Gestalt der irrationalen Formen der Modulargleichungen für die Transformation vom Grade \((3.2^n-1)\) der elliptischen Functionen ein allgemeines zu Grunde liegendes Gesetz für diese Formen vermuten könnte, dass aber ein solches doch nicht stattzufinden scheint, und knüpft daran die historische Notiz, dass Jacobi die von Gauss (Werke III. 475) gefundene Form der Modulargleichung für die Transformation fünfter Ordnung nicht gekannt zu haben scheint.