Einige Sätze über Kegelschnitte. (Q5914355)

Um einen festen Punkt \(M\) als Centrum lassen sich erstens ein Kegelschnitt beschreiben, der durch die Ecken \(A,B,C\) eines festen Dreiecks geht, zweitens ein Kegelschnitt, der die Seiten dieses Dreiecks berührt, drittens ein Kegelschnitt, hinsichtlich dessen das Dreieck sich selbst conjugirt ist. Das Product der Potenzen der Involutionen auf den beiden Hauptaxen, d.h. das Product der Quadrate der Halbaxen, lässt sich für jeden dieser Kegelschnitte leicht durch den Radius des umbeschriebenen Kreises und entweder durch das Product der drei Lote von \(M\) auf die Seiten von \(ABC\) oder durch das Product der drei Lote von \(M\) auf die Seiten des Mitten-Dreiecks von \(ABC\) oder durch beide Producte ausdrücken. Dies erwähnte Steiner in Crelle's Journal XXX. p. 97 und bewies Schröter in dem Anhange seiner ``Theorie der Kegelschnitte'' (Leipzig 1867). Es lässt aber auch das Verhältnis der erwähnten Producte verschiedene geometrische Deutungen zu, wenn man zu dem Mitten-Dreieck die Polarfiguren in Bezug auf die drei Kegelschnitte aufsucht. Zwischen den Flächen der drei so entstehenden Polardreiecke, der Fläche des gegebenen Dreiecks und der Fläche des von den Berührungspunkten des einbeschriebenen Kegelschnitts gebildeten Dreiecks bestehen nämlich sehr einfache Beziehungen, welche Herr Fazzari (Napoli 1884) aufgefunden und analytisch-geometrisch weitläufig bewiesen hat. Herr Schröter leitet nun aber in der vorliegenden Abhandlung diese und viele verwandte Beziehungen unmittelbar aus der Figur durch leichte, elementare, mehr synthetische Betrachtungen ab, deren Wiedergabe hier jedoch zu viel Raum kosten würde.