Principien der Statik monocyklischer Systeme. (Q5914388)

(Siehe auch JFM 16.0854.01) Als monocyklische Systeme definirt der Verfasser solche mechanische Systeme, in deren Innerem eine oder mehrere stationäre, in sich zurücklaufende Bewegungen vorkommen, wobei aber, wenn es mehrere sind, die Geschwindigkeiten nur von einem Parameter abhängen dürfen. Zwischen den einzelnen Körpern des Systems sollen nur conservative Kräfte wirken, bezw. feste Verbindungen bestehen, während die äusseren Kräfte nicht conservativ zu sein brauchen. Die zu behandelnden Aufgaben werden als statische bezeichnet, insofern vorausgesetzt wird, dass das System sich während der mit hinlänglich geringer Geschwindigkeit erfolgenden Aenderungen niemals merklich von solchen Zuständen entfernt, in denen es dauernd verweilen könnte. Die Untersuchungen gewähren ein besonderes Interesse deshalb, weil auch die Wärmebewegung zwar nicht in strengem Sinne monocyklisch ist, aber doch die wesentlichen Eigentümlichkeiten eines solchen Systems zeigt. Nach einer Recapitulation der Gesetze der Wärme geht der Verfasser aus von den allgemeinen Lagrange'schen Bewegungsgleichungen: \[ P_{\mathfrak a}=-\frac{\partial}{\partial p_{\mathfrak a}} (\varPhi-L)-\frac {d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial q_{\mathfrak a}} \right) \cdot \] Hier bedeuten die \(p_{\mathfrak a}\) eine Anzahl allgemeiner Coordinaten, welche die Lage des Systems vollständig bestimmen, \(q_{\mathfrak a}\) deren Differentialquotienten nach der Zeit, \((-P_{\mathfrak a})\) die Momente der äusseren Kräfte, welche auf Vergrösserung der \(p_{\mathfrak a}\) hinwirken, so dass \(P_{\mathfrak a}dp_{\mathfrak a}\) die Arbeit ist, welche die inneren Kräfte in der Ueberwindung jener während der Aenderung \(dp_{\mathfrak a}\) ausüben; \(L\) endlich ist die lebendige Kraft, \(\varPhi\) die potentielle Energie des Systems. Für die Kräfte gelten die oben erwähnten Voraussetzungen. Wird \(\varPhi-L=H\) gesetzt, so nehmen, da \[ \frac{\partial \varPhi}{\partial q_{\mathfrak a}}= 0, \] die Gleichungen die Form an: \[ P_{\mathfrak a} = -\frac{\partial H}{\partial p_{\mathfrak a}} + \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial H}{\partial q_{\mathfrak a}} \right), \] und die Gesamtenergie ist: \[ U=\varPhi+L=H-\varSigma \left( q_{\mathfrak a} \frac{\partial H}{\partial q_{\mathfrak a}} \right) \cdot \] Es wird nun zunächst angenommen, dass für eine besondere Gruppe von schnell veränderlichen, durch den Index \(\mathfrak b\) gekennzeichneten Coordinaten die ihrer Veränderung entsprechende Bewegung eine in sich zurücklaufende sei, und dass während derselben sich \(\varPhi\) und \(L\) nicht merklich ändern, also von \(p_{\mathfrak b}\) unabhängig sind. Dann wird \[ P_{\mathfrak b}=\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial H}{\partial q_{\mathfrak b}} \right), \] und wenn noch \(\frac{\partial H}{\partial q_{\mathfrak b}}=-s_{\mathfrak b}\), \(P_{\mathfrak b} q_{\mathfrak b} dt\) aber gleich \(-dQ_{\mathfrak b}\) gesetzt wird, so dass \(dQ_{\mathfrak b}\) die auf Beschleunigung der Bewegung \(q_{\mathfrak b}\) verwendete äussere Arbeit ist, so erhält man \[ dQ_{\mathfrak b}= q_{\mathfrak b}ds_{\mathfrak b}. \] Beispiele solcher Bewegung sind symmetrisch um die Rotationsaxe gebaute Kreisel, die in reibungslosen Axenlagern laufen, sowie der Fluss einer reibungslosen Flüssigkeit in einem in sich zurücklaufenden Kanale mit elastischen Wänden. Dann wird vorausgesetzt, dass die Aenderungen aller anderen Parameter \(p_{\mathfrak a}\) und die der \(q_{\mathfrak b}\) mit verschwindender Geschwindigkeit erfolgen, so dass das System sich einem stationären Zustande immer sehr nahe befindet, in dem es beliebig lange ausharren könnte; dies hat zur Folge, dass alle mit \(q_{\mathfrak a}, \frac{dq_{\mathfrak a}}{dt}\) und \(\frac{dq_{\mathfrak b}}{dt}\) multiplicirten Ausdrücke als kleine Grössen erster Ordnung verschwinden. Solches System wird ein polycyklisches genannt. Auch die Gleichungen, welche die Grundlage der mechanischen Wärmetheorie bilden, \[ dQ = dU+\varSigma P_{\mathfrak a}dp_{\mathfrak a} =\vartheta dS, \] (wo \(\vartheta\) die absolute Temperatur, \(p_{\mathfrak a}\) eine Anzahl Parameter, \(P_{\mathfrak a}dp_{\mathfrak a}\) die frei verwandelbare Arbeit, welche das System bei einer Aenderung von \(p_{\mathfrak a}\) in \(p_{\mathfrak a}+dp_{\mathfrak a}\) nach aussen abgiebt, \(U\) die gesamte innere Energie, \(S\) die Entropie des Systems, \(dQ\) die durch ihr Arbeitsäquivalent gemessene Wärme, welche während einer verschwindend kleinen Aenderung der Grössen \(\vartheta\) und \(p_{\mathfrak a}\) in das System eintritt) gelten nur für Aenderungen \(d\vartheta\) und \(dp_{\mathfrak a}\) von verschwindender Geschwindigkeit. Die Gleichungen eines solchen polycyklischen Systems werden: \[ P_{\mathfrak a}=-\frac{\partial H}{\partial p_{\mathfrak a}}, \quad dQ_{\mathfrak b}=q_{\mathfrak b}ds_{\mathfrak b}, \quad s_{\mathfrak b}=-\frac{\partial H}{\partial q_{\mathfrak b}}. \] Sind eine oder mehrere, durch \(P_c\) bezeichnete Kräfte dauernd gleich 0, und wird der Wert von \(H\), den man durch Elimination der \(p_{\mathfrak c}\) aus den Gleichungen \( 0=\frac{\partial H}{\partial p_{\mathfrak c}}\) erhält, mit \(\mathfrak H\) bezeichnet, so gelten noch die Gleichungen: \[ {\mathfrak H}=\varPhi-L;\quad P_{\mathfrak a}=-\frac{\partial{\mathfrak H}}{\partial p_{\mathfrak a}};\quad s_{\mathfrak b}=-\frac{\partial{\mathfrak H}}{\partial q_{\mathfrak b}}\,,\quad 2L=\sum(q_{\mathfrak b} s_{\mathfrak b}); \] aber dieses \(L\) ist nicht mehr, wie früher, eine ganze homogene Function 2. Grades der \(q_{\mathfrak b}\), und die \(s_{\mathfrak b}\) sind nicht mehr homogene, lineare Functionen der \(q_{\mathfrak b}\). Das nach der Elimination der \(p_{\mathfrak c}\) erhaltene System wird das unvollständige, jenes das vollständige System genannt. Monocyklische Systeme sind nun solche, in denen in sich zurücklaufende Bewegung vorkommt, die durch die \(p_{\mathfrak a}\) und ausserdem durch nur einen Parameter \(\sigma\) bestimmt wird. Der einfachste Fall ist hier der, dass nur eine Geschwindigkeit vorkomme. Aus den Gleichungen: \[ P_{\mathfrak a}=-\frac{ \partial H}{\partial p_{\mathfrak a}};\quad dQ=qds;\quad s=-\frac{\partial H}{\partial q}; \quad U=H-q\frac{\partial H}{\partial q} \] folgt dann: \[ dQ=dU+\varSigma(P_{\mathfrak a}dp_{\mathfrak a})=qds. \] Hier herrscht vollkommene Uebereinstimmung mit den Gleichungen der mechanischen Wärmetheorie; die Temperatur \(\vartheta\) (resp. eine von ihr abhängige Grösse \(\eta\)) vertritt die Geschwindigkeit \(q\), so dass \(q\) integrirender Nenner der Gleichung \(dQ = 0\) ist. Besonders zu beachten ist, dass auch die lebendige Kraft, der ja bei der Wärmebewegung die Temperatur proportional ist, \(L = \frac 12qs\), integrirender Nenner ist; für das zugehörige \(\mathfrak S\) ergiebt die Integration der Gleichung \(2Ld{\mathfrak S}=qds\): \[ {\mathfrak S}=\log\left(\frac sA\right)=\tfrac12\log (2L)+\tfrac12\log\left(\frac{s}{A^2q}\right)\,, \] ein Ausdruck, welcher dem für die Entropie der Masseneinheit in der kinetischen Gastheorie ganz analog ist. Der allgemeinere Fall monocyklischer Bewegung ist der, dass zwar mehrere Geschwindigkeiten vorkommen, die aber alle durch eine von ihnen und durch die Coordinaten \(p_{\mathfrak a}\) bestimmt sind; entsprechend sind die mannigfaltigen Beziehungen, welche sich an mechanischen Apparaten zwischen Drehungsgeschwindigkeiten herstellen lassen. Das neue System wird das gefesselte genannt, indem nämlich feste Verbindungen zwischen seinen Teilen angenommen werden, deren Wirkung die ist, dass sie keinen Einfluss haben, so lange die Bewegung an und für sich so vor sich geht, wie es ihnen entspricht, und dass sie nur beginnende Abweichungen verhindern; dass sie ferner weder Arbeit erzeugen noch vernichten. Denkt man sich die Geschwindigkeiten \(q_{\mathfrak b}\) als Functionen der \(p_{\mathfrak a}\) und einer neuen Veränderlichen \(x\), so lassen sich auch die \(s_{\mathfrak b}\) als Functionen derselben Grössen darstellen, und für die Arbeit \(dQ\) ergiebt sich \[ dQ=\sum_{\mathfrak b} (q_{\mathfrak b}ds_{\mathfrak b}) = \sum_{\mathfrak a} \sum_{\mathfrak b} \left( q_{\mathfrak b} \frac{\partial s_{\mathfrak b}}{\partial p_{\mathfrak a}}\;dp_{\mathfrak a} \right) + \sum_{\mathfrak b} \left( q_{\mathfrak b} \frac{\partial s_{\mathfrak b}}{\partial x} \right) dx, \] welche Gleichung sich in die Form bringen lässt \[ dQ = \lambda d\sigma, \] wo \(\sigma=\)Const. das Integral der Gleichung \(dQ = 0\), und \(\sigma=\)Funct. \((p_{\mathfrak a}, x)\) nun als die Entropie des gefesselten Systems bezeichnet wird. Wählt man statt des willkürlichen \(x\) ein \(\sigma\), so erhält man statt der obigen Gleichung folgendes System von Gleichungen: \[ \sum_{\mathfrak b} \left( q_{\mathfrak b} \frac{\partial s_{\mathfrak b}}{\partial p_{\mathfrak a}} \right) =0; \quad \sum_{\mathfrak b} q_{\mathfrak b} \left( \frac{\partial s_{\mathfrak b}}{\partial \sigma} \right) =\lambda. \] Die Lösung dieser Differentialgleichungen wird in der Form gegeben: \(F = \sigma\); \(q_{\mathfrak b} = \lambda\,\frac{\partial F}{\partial s_{\mathfrak b}}\), wo \(F\) eine willkürliche Function der \(s_{\mathfrak b}\). Diese Form der Lösung ist ausreichend, wenn die letztgenannten Gleichungen von einander unabhängig sind; die Gleichungen gestatten dann, sämtliche Grössen \(q_{\mathfrak b},\; s_{\mathfrak_b},\; \lambda,\; P_{\mathfrak a},\; U,\; H\) als Functionen der \(p_{\mathfrak a}\) und des \(\sigma\) darzustellen. Eine allgemeinere Lösung jener Gleichungen giebt Herr Kronecker in demselben Bande des Journals S. 141-145. Entsprechend den Formen für das einfache monocyklische System gelten, wenn \(\mathfrak U\) der Wert der Gesamtenergie ist, nachdem alle \(s_{\mathfrak b}\) durch \(p_{\mathfrak a}\) und \(\sigma\) ausgedrückt sind, noch die Gleichungen: \[ {\mathfrak H}={\mathfrak U}-\lambda\sigma;\quad P_{\mathfrak a}=-\frac{\partial{\mathfrak H}}{\partial p_{\mathfrak a}};\quad \sigma=-\frac{\partial{\mathfrak H}}{\partial \lambda}\,. \] Während nun für die einfachen monocyklischen Systeme die lebendige Kraft immer ein integrirender Nenner ist, bedarf es für die Systeme mit festen Verbindungen einer besonderen Untersuchung der Bedingungen, unter welchen unter den integrirenden Nennern die lebendige Kraft ist; und die Erledigung dieser Frage ist für die Analogie mit der Wärmetheorie besonders wichtig. Es ergiebt sich die Bedingung, dass die Function \(F\), welche den Wert der Entropie des gefesselten Systems darstellt, eine homogene Function 1. Grades der Bewegungsmomente \(s_{\mathfrak b}\) des ungefesselten Systems ist, und dass demzufolge die constanten Coefficienten von \(F\) nur reine Raumgrössen zu sein brauchen. Wird dann das vollständige System der Parameter \(p_{\mathfrak a}\) constant erhalten, so müssen sämtliche Bewegungsmomente \(s_{\mathfrak b}\) und demgemäss auch sämtliche Geschwindigkeiten \(q_{\mathfrak b}\) proportional mit \(\sigma\) und \(\lambda\) wachsen; letzteres ist nicht mehr der Fall, wenn einige Parameter \(p_c\) eliminirt sind. Die bekannten mechanischen Hülfsmittel zu dauernder Bewegungsübertragung, Schnüre ohne Ende, Zahnräder, Reibungsrollen, ergeben immer nur Verhältnisse der Geschwindigkeiten, welche von der Stellung der Teile abhängig sein können, aber von der Grösse der Geschwindigkeit unabhängig sind. Es werden deshalb solche Verbindungen, bei welchen die lebendige Kraft integrirender Nenner ist, rein kinematische Verbindungen genannt. Es wird nun die Koppelung zweier Systeme betrachtet, d. i. der Zustand zeitweiliger fester Verbindung von zwei ursprünglich unabhängigen monocyklischen Systemen. Sollten dabei die beiden Systeme in der neuen Lage mit Druck- oder Fernkräften auf einander wirken, so soll vorausgesetzt werden, dass derartige Kräfte bekannt und den \(P_{\mathfrak a}\) hinzuzuzählen seien; eine solche Koppelung, bei welcher also nur Arbeitsgrössen von dem einen auf das andere System übertragen würden, wird als reine Bewegungskoppelung bezeichnet. Analoge Verhältnisse bietet die Herstellung einer leitenden Berührung zwischen zwei Körpern von gleicher Temperatur, welche infolge des Austausches ihrer inneren Bewegung von nun an gleiche Temperatur behalten, wenn die Veränderungen hinlänglich langsam erfolgen. Besonderes Interesse gewährt der Fall der sogenannten isomoren Koppelung, einer solchen nämlich, bei welcher die Gleichheit eines der integrirenden Nenner der Systeme bei der Verbindung erhalten bleibt. Die Berührung von zwei Körpern mit gleicher Temperatur gehört hierher. Andere Beispiele sind zwei Kreisel, deren Axen so verbunden werden, dass sie gleiche Umdrehungsgeschwindigkeit einhalten müssen, und welche sich ohne Störung verbinden lassen, wenn sie gleiche Rotation haben, oder zwei Ströme in ringförmigen Röhren, welche ungestört in einen vereinigt werden können, wenn beide gleiche Strömung durch jeden Querschnitt haben. Genau wie in der Wärmelehre gelten dann die Gesetze für die Möglichkeit, auf umkehrbare Weise Arbeit der Kräfte \(P_{\mathfrak a}\) auf Kosten der inneren Bewegung zu gewinnen. Rein kinematische Koppelung kann; wie die Rechnung zeigt, isomor nur dann ausgeführt werden, wenn die gleichen integrirenden Nenner die Producte aus einer Constanten, der lebendigen Kraft und einer beiderseits gleich hohen Potenz des resultirenden Bewegungsmomentes sind. Schliesslich wird in dem ersten Aufsatze noch das Gleichgewicht der inneren Bewegung für drei monocyklische Systeme untersucht. Es zeigt sich: wenn bei der oben definirten reinen Bewegungskoppelung die Bedingungen des Austausches der inneren Bewegung zwischen mehreren Systemen eintreten, so hängt das Gleichgewicht der inneren Bewegung zwischen ihnen davon ab, dass eine bestimmte Function der Parameter jedes einzelnen bei allen denselben Wert habe; diese Function, welche die Rolle der Temperatur spielt, muss dann ein integrirender Nenner des Systems sein, und daraus folgt die beschränkte Verwandlungsfähigkeit der inneren Arbeit, wie sie für die Wärme durch das Carnot'sche Gesetz ausgesprochen ist. Die in dem ersten Aufsatze hergeleitete Bedingung dafür, dass die lebendige Kraft integrirender Nenner eines zusammengesetzten monocyklischen Systems ist, war die, dass die Verbindungen zwischen den einzelnen Teilen rein kinematische sind. Wenn dies nun auch bei allen bisher bekannten Fällen mechanischer Verbindung zutrifft, so wurde doch durch die früheren Betrachtungen die Möglichkeit anderer Verbindungen nicht ausgeschlossen. In dem zweiten Aufsatze untersucht deshalb der Verfasser den Charakter aller durch ponderable Naturkörper herstellbaren Verbindungen bewegter Körper und verallgemeinert den Satz von der lebendigen Kraft als integrirendem Nenner für alle diese Fälle. Es zeigt sich zunächst, dass bei jeder durch physische Körper herstellbaren Fesselung cyklischer Bewegungen eine proportionale Steigerung aller Geschwindigkeiten zulässig sein muss, wobei die Verhältnisse dieser Geschwindigkeiten unverändert bleiben, so lange der Wert aller Coordinaten \(p_{\mathfrak a}\) constant bleibt. Wird \(q_{\mathfrak b} = nq_{\mathfrak b}\) und \(s_{\mathfrak b} = n{\mathfrak s_b}\) gesetzt, so ergeben sich zur Bestimmung der \(\mathfrak s_b\) die Differentialgleichungen: \[ \sum_{\mathfrak b} {\mathfrak q_b} \frac{\partial {\mathfrak s_b}}{\partial p_{\mathfrak a}} = 0; \] ferner zeigt die Gleichung: \[ dQ = 2Ld\log n, \] wobei das \(n\) die einzelnen Werte der Entropie charakterisirt, dass die lebendige Kraft notwendig einer der integrirenden Nenner des durch die Verbindung erzeugten monocyklischen Systems sein muss. Der Begriff der Entropie lässt sich dann vollständig auf diese Systeme übertragen. Endlich wird noch die Integration der Fesselungsgleichungen für ein physisch verbundenes System gegeben: \[ 0=\sum_{\mathfrak b} q_{\mathfrak b} \frac{\partial {\mathfrak s_b}}{\partial q_{\mathfrak a}}. \] Im allgemeinen genügt wieder die der früheren entsprechende Form der Lösung: \[ F=C; \quad q_{\mathfrak b} = \lambda\;\frac{\partial F}{\partial {\mathfrak s_b}}, \] wo \(C\) der constant bleibende Wert der Entropie. Aber auch die Fälle, wo diese Gleichungen nicht ausreichen, werden noch eingehend untersucht.