Ueber die Eigenschaften monocyklischer und anderer damit verwandter Systeme. (Q5914392)

Die ersten 3 Paragraphen sind ein wenig veränderter Abdruck aus den Sitzungsber. d. Wiener Akad. XC. S. 231-245. Die Arbeit nimmt vielfach Bezug auf des Verfassers frühere Abhandlungen: ``Einige allgemeine Sätze über Wärmegleichgewicht'', Wien. Sitzungsber. LXIII.; ``Bemerkungen über einige Sätze der mechanischen Wärmetheorie'', l. c. LXXV. ``Analytischer Beweis des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie aus den Sätzen über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft'', l. c. LXIlI., sowie auf Maxwell's betreffende Untersuchungen in den Cambridge Philosophical Transactions XII. u. XIII. Die Analogie, welche zwischen den Sätzen der mechanischen Wärmetheorie und denen über die monocyklischen Systeme des Herrn von Helmholtz besteht, beabsichtigt der Verfasser an einigen mit den monocyklischen verwandten Systemen weiter zu verfolgen. Er betrachtet erst einige besondere Beispiele. Die Bewegung eines Massenpunktes in elliptischer Bahn um einen festen Centralkörper, von dem er nach dem Newton'schen Gesetze angezogen wird, ist an und für sich keine monocyklische, lässt sich aber mittels eines Kunstgriffes in eine solche verwandeln: wenn man sich nämlich die ganze Bahn mit Masse belegt denkt, welche an jedem Punkte eine solche Dichtigkeit hat, dass, während fortwährend Masse durch jeden Bahnquerschnitt strömt, die Dichte in jedem Punkte der Bahn unverändert bleibt. Die sich ergehenden Formeln zeigen vollkommene Analogie mit denen für die monocyklischen Systeme mit einer einzigen Geschwindigkeit. Diesem Falle reiht sich der einer beliebigen Centralbewegung an, wenn nur die Bahn eine geschlossene ist, und der noch allgemeinere, dass die Kräfte keine Centralkräfte zu sein brauchen, sondern durch beliebige Functionen der Coordinaten des von ihnen angegriffenen Massenteilchens ausgedrückt werden, wenn nur eine Kraftfunction existirt, die Kräfte für alle Teilchen der Gesamtmasse dieselben Functionen der Coordinaten sind, und alle Massenteilchen congruente geschlossene Bahnen beschreiben. Die hierfür gültigen Formeln umfassen auch den von Herrn Clausius in seiner vorstehend angeführten Abhandlung besprochenen Fall, und dies zeigt, dass bei richtiger Wahl der Coordinaten die Formeln des Herrn v. Helmholtz auch für diesen Fall anwendbar sind. Die Betrachtung einiger weiterer besonderer Arten der Bewegung führt auf Systeme, welche als Monoden bezeichnet und dadurch charakterisirt werden, dass die in jedem Punkte derselben herrschende Bewegung unverändert fortdauert, so lange die äusseren Kräfte unverändert bleiben, und dass auch in keinem Punkte und keiner Fläche derselben Masse oder lebendige Kraft oder sonst ein Agens ein- und austritt. Wenn die lebendige Kraft integrirender Nenner des Differentiales \(dQ\) der auf directe Steigerung der inneren Bewegung gerichteten Arbeit ist, so werden die Systeme Orthoden genannt. Für diese ist \(dQ = qds\), und der dazu gehörige Wert von Massieu's charakteristischer Function ist \(H = \varPhi-L\) (\(\varPhi\) die potentielle Energie, \(L\) die lebendige Kraft), genau wie bei den monocyklischen Systemen, nur ist \(\int qdt\) im allgemeinen nicht mehr eine Coordinate. Als einen sehr allgemeinen Fall betrachtet der Verfasser nun ein beliebiges System, dessen Zustand durch beliebige Coordinaten \(p_1,\;p_2,\ldots, \;p_g\) bestimmt ist; die dazu gehörigen Momente sind \(r_1,\; r_2,\ldots, r_g\). Das System soll beliebigen inneren und äusseren Kräften unterworfen sein, von denen die ersteren conservativ sein müssen. Die lebendige Kraft wird \(\psi\), die potentielle Energie \(\chi\) genannt, letztere ist eine Function der \(p_g\), erstere eine homogene Function 2. Grades der \(r_g\), deren Coefficienten auch die \(p_g\) enthalten können. Einer langsamen Veränderlichkeit der äusseren Kräfte soll nicht dadurch Rechnung getragen werden, dass gewisse Parameter, die bei Constanz der äusseren Kräfte constant bleiben, sich langsam verändern, sondern dadurch, dass \(\chi\) allmählich eine andere Function der \(p_g\) wird, oder dass sich gewisse in \(\chi\) vorkommende Constanten langsam verändern. Sind nun sehr viele \((N)\) genau gleich beschaffene und von einander unabhängige Systeme vorhanden, für welche die Coordinaten und Momente zwischen den Grenzen \(p_1+dp_1,\; p_2+dp_2,\ldots ,r_g+dr_g\) liegen, und deren Anzahl \[ dN = Ne^{-h(\chi+\psi)} \frac{\sqrt{\varDelta} d\sigma d\tau}{\iint e^{-h(\chi+\psi)} \sqrt{\varDelta} d\sigma d\tau}, \] (wo \(d\sigma=\varDelta^{\frac 12} dp_1dp_2\ldots dp_g\), \(d\tau=dr_1dr_2\ldots dr_g\), und \(\varDelta=\) einer Determinante von Functionen der Coordinaten; dieselbe nimmt, wenn die lebendige Kraft eine Summe von Quadraten ist, den Wert \(\mu_1\mu_2\ldots \mu_n\) an, wo die \(\mu\) für materielle Punkte die reciproken Werte der Massen sind), so bildet deren Inbegriff eine Monode, und die so definirte Gattung von Monoden wird Holode, jedes System ein Element der Holode genannt. Es ergiebt sich, dass alle Holoden orthodisch sind und die Analogie mit der mechanischen Wärmetheorie aufweisen. Wieder werden nun sehr viele solche Systeme betrachtet, für welche alle jetzt aber die Gleichungen \[ \varphi_1=a_1,\quad \varphi_2=a_2,\ldots, \varphi_k=a_k \] erfüllt sein sollen. Wenn dann \[ dN=\frac{ \frac{ Ndp_1dp_2\ldots dr_g}{ \varSigma\pm \frac{\partial \varphi_1}{\partial p_c}\cdot \frac{\partial \varphi_2}{\partial p_d} \cdots \frac{\partial \varphi_k}{\partial r_f}}} {\iint \cdots \frac{dp_1dp_2\ldots dr_g}{\varSigma \pm \frac{\partial\varphi_1}{\partial p_c} \cdot \frac{\partial\varphi_2}{\partial p_d} \cdots \frac{\partial\varphi_k}{\partial r_f}}}, \] so bildet der Inbegriff der Systeme eine Monode, welche durch die Gleichungen \(\varphi_1 = a_1\) etc. beschränkt ist. (\(p_c, p_d,\ldots, r_f\) bedeuten hier die Coordinaten und Momente, welche durch jene Gleichungen bestimmt gedacht werden, und deren Differentiale natürlich oben fehlen). Monoden, welche nur durch die Gleichung der lebendigen Kraft beschränkt sind, werden als Ergoden, solche, welche auch noch durch andere Gleichungen neben dieser beschränkt sind, als Subergoden bezeichnet. Für Ergoden ist \(L\) wieder integrirender Factor von \(dQ\). Subergoden, bei denen für alle Systeme nicht nur die in der Gleichung der lebendigen Kraft sondern auch die in den drei Flächengleichungen vorkommenden Constanten die gleichen Werte haben, werden Planoden genannt; letztere sind im allgemeinen nicht mehr orthodisch. Ist jedes Element der Ergode ein Aggregat materieller Punkte, und die Zahl der Parameter \(p_g\), welche den Zustand eines Elements bestimmen, kleiner als die Zahl der rechtwinkligen Coordinaten der materiellen Punkte eines Elements, so wird es gewisse Functionen dieser Coordinaten geben müssen, welche während der ganzen Bewegung constant bleiben, und in den voraufgehenden Entwickelungen ist vorausgesetzt, dass sie auch constant bleiben bei der Zu- und Abfuhr von lebendiger Kraft. Lässt man aber ausser der Veränderlichkeit der in der Kraftfunction vorkommenden Parameter auch noch eine Veränderlichkeit dieser Functionen zu, welche die Rolle der v. Helmholtz'schen \(p_{\mathfrak a}\) spielen, so erhält man Gleichungen, welche des Verfassers frühere wie auch die v. Helmholtz'schen Untersuchungen umfassen. Die Formel, welche der Verfasser giebt, wird angewandt auf Rotationsbewegungen, ideale Gase, auf die Strömung einer Füssigkeit in einem in sich zurücklaufenden Canale und auf Centralbewegungen. Die einfachen monocyklischen Systeme sind Ergoden mit einer einzigen rasch veränderlichen Grösse, desgl. aber auch die zusammengesetzten monocyklischen Systeme, wenn die Fesselung durch \(n - 1\) Gleichungen zwischen den Grössen \(p_{\mathfrak a}\) und \(p_{\mathfrak b}\) bewirkt ist; und es muss dann die lebendige Kraft integrirender Nenner sein. Auch wenn unter den Fesselungsgleichungen lineare Gleichungen mit constanten Coefficienten zwischen den \(q_{\mathfrak b}\) vorkommen, (Ausdruck für die Function von Zahnrädern mit einer endlichen Zahl von Zähnen), gilt das noch, aber nicht mehr, wenn diese Coefficienten langsam veränderlich sind, wie es bei Frictionsrollen, Schnüren ohne Ende, Wasserrädern, die durch den Mittelswiderstand getrieben werden, kurz bei allen Energie verzehrenden Kräften vorkommen kann. Dann ist im allgemeinen die lebendige Kraft nicht mehr integrirender Nenner, ja es braucht dann überhaupt kein integrirender Nenner von \(dQ\) zu existiren. In diesem Punkte stimmt der Verfasser mit Herrn v. Helmholtz nicht überein. Dessen Resultat, dass bei rein kinematischen Verbindungen die lebendige Kraft immer integrirender Nenner sei, habe die Voraussetzung, dass die Gleichung \(dQ = 0\) ein Integral von der Form \(\sigma=\text{Const.}\) habe, wo \(\sigma=\text{Funct.\,}(p_{\mathfrak a}, x)\), und diese Voraussetzung scheint dem Verfasser nicht immer zulässig zu sein. Es wird am Schluss der Abhandlung an Beispielen noch nachgewiesen, dass der theoretisch mögliche Fall, wo die Gleichung \(dQ = 0\) keinen integrirenden Factor besitzt, auch praktisch sich verwirklichen lässt.