Zur Theorie der Flächen dritter Ordnung. (Q5914416)

Die Schnittlinien entsprechender Tangentialebenen zweier collinearen Flächen zweiten Grades bilden ein Strahlensystem zweiter Ordnung und sechster Klasse von der ersten Art (Reye, Kronecker J. XCIII. p. 81). Die Brennfläche dieses Strahlensystems ist vierter Ordnung und besitzt zwölf konische Knotenpunkte. Zu dieser Gattung von Strahlensystemen gehört das von Kummer erwähnte Strahlensystem, welches dem Normalensystem einer Fläche zweiten Grades reciprok ist. Dasselbe ist indessen von der besonderen Art, dass jene zwölf singulären Punkte der Brennfläche sich für dies System zu je vier (4a), (4b), (4c) gruppiren, welche ein desmisches System von drei Tetraedern bilden, d. h. drei Tetraeder, von denen die Ecken eines jeden Perspectivitätscentra für die beiden anderen sind. Die diesem besonderen Strahlensystem entsprechende Brennfläche nennt Herr Schur dieser Beziehung wegen eine desmische Fläche vierter Ordnung. Soll die Brennfläche eines durch die Tangentialebenen zweier collinearen Flächen zweiten Grades erzeugten Strahlensystems eine solche desmische Fläche sein, so müssen die sich selbst entsprechenden Punkte der beiden collinearen räumlichen Systeme mit den Ecken des sich selbst conjugirten Tetraeders der beiden Flächen zweiten Grades zusammenfallen. Es seien \(a\), \(b\), \(c\) drei in einer Ebene gelegene Gerade einer Fläche dritter Ordnung \(F^3\). Legt man durch jede dieser Geraden eine Ebene, so entstehen drei Kegelschnitte, welche auf einer Fläche zweiten Grades gelegen sind. Es ordnet sich also einem ebenen Dreiseit auf \(F^3\) eine dreifache Mannigfaltigkeit von Flächen zweiten Grades zu. Die Kegel, welche in dieser Mannigfaltigkeit auftreten, haben ihre Spitzen nach Steiner auf einer Fläche erster Ordnung \(F^4\). Diese Fläche lässt sich, wie Herr Schur darlegt, als Brennfläche von drei Strahlensystemen zweiter Ordung und sechster Klasse auffassen, und zwar ist dieselbe eine desmische Fläche. Die zwölf singulären Punkte derselben werden von den 3.4 Schnittpunkten der Geradenpaare gebildet, in welchen Ebenen durch \(a\), \(b\), \(c\) die Fläche \(F^3\) noch schneiden. Die Schnittcurve der Ebene \(abc\) mit \(F^4\) liegt auf der Hesse'schen Fläche von \(F^3\), und zwar lassen sich dieser Schnittcurve unendlich viele vollständige Fünfseite einschreiben, deren Seiten insgesamt einen Kegelschnitt umhüllen. Nachdem so jedem Dreiseit auf \(F^3\) die Fläche \(F^4\) zugeordnet ist, wird untersucht, ob umgekehrt zu jeder Fläche von dem Charakter \(F^4\) eine Fläche \(F^3\) in demselben Sinne gehört. Es zeigt sich, dass, wenn \(F^4\) und die Ebene eines Dreiseits gegeben vorliegen, es noch sechs Flächen \(F^3\) giebt, welche zu \(F^4\) die geforderte Beziehung haben. Damit ist der von Steiner ausgesprochene Satz, dass der Schnittcurve von \(F^4\) mit der Ebene des Dreiseits vollständige Fünfseite eingeschrieben werden können, auf jede in der Fläche \(F^4\) enthaltene ebene Schnittcurve ausgedehnt.