On a linear equation. (Q5914487)

Der Verfasser betrachtet die Diffrentialgleichung \[ \frac{d^2y}{dx^2} =[ \frac{\mu(\mu+1)}{sn^2x} +\frac{\mu'(\mu'+1)dn^2x}{cn^2x} + \frac{\mu''(\mu''_1)k^2cn^2x}{dn^2x} +n(n+1)k^2sn^2x+h]y, \] welche die Lame'sche Gleichung als speciellen Fall enthält. Wenn \(\mu,\mu',\mu'',n\) ganzzahlig sind, dann ist das allgemeine Integral der Gleichung überall eindeutig und kann daher nach dem Pcard'schen Theorem durch doppelt-periodische Functionen der zweiten Art dargestellt werden. Um das Integral zu erhalten, wird zunächst die Gleichung durch die Substitution \[ y=zsn^{-\mu} xcn^{-\mu'} xdn^{-\mu''}x =z.H \] in die Gleichung für \(z\) \[ z'' +\frac{2H'}H z' = z[(n-\varTheta +1) (n+\varTheta) k^2sn^2x+h_1] \] transformirt, wo \(\varTheta=\mu + \mu' + \mu''\), und \(h_1\) eine von \(h\) verschiedene Constante bezeichnet, und nach der von Herrn Hermite in Brioschi's Ann. (2) IX. 21. (s. F. d. M. X. 1878. p. 235, JFM 10.0235.02) gegebenen Methode die Gleichung dritter Ordnung betrachtet, der das Product \(u\) zweier Integrale genügt. Diese Gleichung muss als particuläre Lösung eine ganze rationale Function von \(sn^2x\) zulassen. Ist dieselbe bestimmt, so vollzieht sich die in Rede stehende Integration ohne Schwierigkeit.