On the stability or instability of certain fluid motions. (Q5914633)

Fortsetzung einer Arbeit, über die im vorigen Jahre berichtet ist (cf. F.d.M. XI. 1879. 685-687 (JFM 11.0685.01)). Die dort im zweiten Theile abgeleiteten Resultate entsprechen der Erfahrung nicht und können ihr nicht entsprechen, weil die Voraussetzung, dass bei discontinuirlicher Flüssigkeitsbewegung eine Trennungsfläche längere Zeit hindurch nur eine geringere Aenderung erfährt, nicht zutreffend ist. Vielmehr wird wegen der Reibung der Flüssigkeit eine solche Trennungsfläche sehr bald völlig verschwinden und an Stelle der discontinuirlichen Geschwindigkeitsänderung eine almälige treten. Da die Berücksichtigung der Reibung andererseits zu grosse Schwierigkeiten bietet, so hat sich der Verfasser darauf beschränkt, den Charakter des Gleichgewichts für continuirliche Bewegungen in reibungslosen Flüssigkeiten für einige specielle Fällen zu untersuchen. Dabei beschränkt er sich auf die Annahme, dass das Problem nur zwei Dimensionen abhängt, und dass von beiden Geschwindigkeitscomponenten \(u, \vartheta\) die letztere gleich Null, die erstere nur eine Function von \(y\) ist. Der erste der behandelten Fälle ist folgender : In der Flüssigkeit befindet sich eine Schicht ( ein Strahl ) von der Dicke \(b\) ( parallel \(y\) ), so dass auf der einen Seite der Schicht überall die constante Geschwindigkeit \(+V,\) auf der andern die constante Geschwindigkeit \(-V\) besteht, während innerhalb der Schicht die Geschwindigkeit sich gleichförmig ändert. Durch eine störende Kraft mögen nen die Grenzflächen der Schicht eine Verschiebung erfahren \[ \eta = H e^{ikx} e^{int}; \] dann ergiebt sich durch Anwendung einer Helmholtz'schen Formel leicht die hierdurch in einem beliebigen Element der Flüssigkeit hervorgerufene Geschwindigkeitsänderung, und daraus folgt weiter folgende Gleichung zwischen den obigen Grössen \[ n^2 = \frac {V^2} {b^2} \{(kb - 1)^2 - e^{-2 kb} \}. \] Je nachdem \(n^2\) positiv oder negativ ist, ist die Bewegung stabil oder nicht; die absolute, Grösse von \(n\) ist ein Mass der Stabilität, resp. Instabilität. In gleicher Weise werden noch folgende Fälle behandelt. Ein Strahl von der Dicke \(2b\) bewege sich in Wasser derart, dass die Geschwindigkeit, die in der Mitte ein Maximum ist, nach beiden Seiten gleichförmig abnimmt. Ferner finde die Maximalgeschwindigkeit in einem Streifen von endlicher Dicke statt, ( nicht blos, wie vorher, in einer Linie ) und nehme von da beiderseits gleichmässig ab etc. Zum Schluss wird gezeigt, wie man derartige Probleme bei Berücksichtigung von nur zwei Dimensionen etwas allgemeiner behandeln kann. Die Methode lässt sich jedoch nicht in Kürze wiedergeben.