On the conduction of heat in ellipsoids of revolution. (Q5914645)

Der Verfasser bemerkt, dass das Problem der stationären Temperatur von Ellipsoiden zwar im Allgemeinen eine vollständige Lösung mit Hülfe der von Green und Lamé eingeführten Functionen gefunden habe, dass dagegen das entsprechende Problem der Leitung noch nicht so erfolgreich behandelt worden sei. Herr Mathieu hat allerdings in seinem: ``Cours de physique mathématique'' gezeigt, wie das Problem auf gewöhnliche Differentialgleichungen redurcirt werden könne, und wie man im Fall eines Umdrehungsellipsoids zu einer näherungsweisen Lösung derselben gelangen könne. In der vorliegenden Arbeit wird das Problem in einer mehr directen und allgemeinen Art behandelt. Wie Herr Mathieu wählt der Verfasser zu Coordinaten eines Punktes das Azimuth \(\varphi\) des dem Punkte entsprechenden Meridianschnittes und die Parameter \(\alpha\) und \(\beta\) des der Flächeconfocalen Ellipsoids und Hyperboloids, welche sich in dem Punkte schneiden. Zuerst wird gezeigt, wei man die allgemeine Leitungsleichung in diese Coordinaten transformiren kann. Die so erhaltene Gleichung lautet: \[ \frac{d^2 V}{d\alpha^2} + \frac{d^2 V}{d\beta^2} + \text{coth}\alpha \frac{dV}{d\alpha} + \text{coth} \beta \frac{dV}{d\beta} + \left( \frac{1}{\text{sinh} ^2 \alpha} + \frac{1}{\text{sinh}^2 \beta} \right) \frac{d^2 V}{d\varphi^2} \] \[ = \frac{c^2}{k^2} (\text{cosh}^2\alpha - \text{cosh} ^2 \beta) \frac{dV}{dt}. \] Dieser Gleichung genügt eine Reihe von Ausdrücken der Form: \[ e^{-\lambda^2 kt} \cos m\varphi \vartheta_m^k (\beta) \varOmega_m^k (\alpha), \] wo \(k\) durch eine Gleichung bestimmt wird, welche unendlich viel Wurzeln hat. Die Function \(\vartheta\) wird nach Functionen entwickelt, die Todhunter nach Heine associirte Functionen von \(\cos\beta\) genannt hat. Es wird sodann gezeigt, dass die Wurzeln der Gleichung in \(k\) in zwei Classen zerfallen, und dass die entsprechenden Ausdrücke für \(\vartheta\) verschiedene Formen annehmen, für deren eine die Differenz zweiten Grades und Ordnung der associirten Function grade ist, während dieselbe bei der andern ungrade ist. Die Werthe von \(\varOmega (\alpha)\) zerfallen in ähnlicher Weise in zwei Classen. Diese Werthe werden zunächst nach Gliedern der kleineren Axe des confocalen Ellipsoids, dann der grösseren Axe entwickelt, wobei die erste Reihe nach Functionen fortschreitet, welche der Differentialgleichung \[ \frac{d^2u}{dx^2} + \frac 2x \frac{du}{dx} + \left( 1- \frac{n(n+1)}{x^2} \right) u = 0 \] genügen. Die zwei Lösungen dieser Gleichung treten beide in endlicher Form auf. Die eine \(S_n\) ist für \(x=0\) endlich, die andere \(T_n\) dagegen unendlich. Im Weiteren werden die Eigenschaften dieser Functionen untersucht. Nach der Entwickelung dieser Function bespricht der Verfasser das System der Gleichungen, welches \(k\) bestimmt, wobei er sich bald mehr bald weniger an die Untersuchung von Heine für ein ähnliches system anschliesst. Betreffs des speciellen Problems der Wärmeleitung wird die einschränkende Bedingung gemacht, dass entweder die Oberfläche auf constanter Temperatur erhalten wird oder der Körper sich durch Strahlung abkühlt. Der erste Fall ist mathematisch einfacher. Man kann ihn sich realisirt denken durch einen Körper, der mitten in eine unbegrenzte Flüssigkeit gebracht ist. Nach genügender Zeit wird er dann die Temperatur der umgebenden Flüssigkeit angenommen haben. Unter dieser Voraussetzung können die verschiedenen Werthe von \(\lambda\) aus der Gleichung \(\varOmega_m^k = 0\) gefunden werden. Die Wurzeln von \(\varOmega_0^0\) werden bis auf \(e^4\) untersucht. Dann folgt die Betrachtung der Strahlung. Hier zeigt der Verfasser nur, wie die successiven Näherungen gefunden werden können. Die Rechnungen werden zunächst nur für den Fall eines Ellipsoids durchgeführt, dessen grössere Axe die Umdrehungsaxe ist. Es wird aber gezeigt, dass die Ausdrücke und Resultate leicht auf den Fall eines planetarischen Ellipsoids übertragen werden können. Der Hauptzweck der Arbeit geht aber auf eine Untersuchung der Functionen, welche bei der mathematischen Behandlung des Problems auftreten.