On indefinite binary quadratic forms. (Q5914674)

Die Form \[ (a_0,b_0,c_0) = a_0 \xi^2 + 2b_0\xi + c_0 \] kann so zubereitet werden, dass sie, gleich Null gesetzt, eine positive Wurzel \(>1\), eine negative \(<1\) besitzt. Durch die Kettenbruchentwickelung beider wird eine Reihe von Transformationen geliefert, welche die Formen geben \[ (a_1,b_1,c_1),\quad (a_2,b_2,c_2),\dots (a_{-1},b_{-1},c_{- 1}),\quad (a_{-2}, b_{-2}, c_{-2})\dots \] Der Werth von \((a_0,b_0,c_0)\) kann nicht unter den kleinsten Werth der Glieder von \(\cdots -a_2, -a_1, a_0, a_1, a_2,\dots\) sinken. Ist \(a_k=L_k\sqrt{D}\), und soll das Minimum von \(L_k\geqq \frac{2}{3}\) sein, so giebt es fünf entsprechende Reihen, deren eine von einer neuen Reihe von Indices \(-r_2,-r_1,r_0,r_1,r_2,\dots\) abhängt, bei welcher dasselbe stattfindet, u. s. f. Daraus folgt, dass man eine unendliche Anzahl von Formenclassen der Determinante \(D\) finden kann, deren Minima \(>\frac{2}{3}\sqrt{D}\), und solcher, deren Minima \(=\frac{2}{3}\sqrt{D}\) sind. Fordert man, dass \(L_k\geqq l > \frac{2}{3}\) sei, so ergiebt sich eine ähnliche Anzahl von Reihen, nur das dieselbe abbrechen muss. Es giebt also nur eine endliche Anzahl von Classen der Form \((a',b',c')\) mit der Determinante \(D\), deren Minima \(\geqq l\sqrt{D}\) sind. In diesem Falle sind \(b':a'\) und \(c':a'\) rational, und das Minimum wird für endliche Werthe der Variabeln \(x', y'\) erreicht.