Ueber das bifocal-veränderliche System. (Q5914762)

Werden zwei ebene Systeme \(\Sigma_1\) und \(\Sigma_2\) in der Art in eine geometrische Verwandtschaft gesetzt, dass einem Punktepaar \(\Phi_1 \Psi_1\) in \(\Sigma_1\) ein Punktepaar \(\Phi_2 \Psi_2\) in \(\Sigma_2\) entspricht, ein jeder Punkt \(P_1\) im ersten System aber mit \(P_2\) im anderen durch die beiden Gleichungen verbunden wird \(\Phi_1 P_1 = \Phi_2 P_2\) und \(\Psi_1 P_1 = \Psi_2 P_2,\) so sind beide Systeme bifocal, und \(\Phi_1 \Psi_1,\) bezüglich \(\Phi_2 \Psi_2\) heissen ihre Focalpunkte. Zu dem ersten System \(\Sigma_1\) lässt sich alsdann stets ein ihm ähnliches \(\Sigma_1'\) construiren der Art, dass dieses und \(\Sigma_2\) als Grundriss und Aufrissprojection eines einschaligen Hyperboloids aufgefasst werden können, von dem zwei Axen bezüglich auf den Projectionsebenen senkrecht stehen. Diese Auffassung bildet die Grundlage für die vorliegenden Studien der oben definirten geometrischen Verwandtschaft. Aendert sich ein ebenes System deratig, dass alle Phasen desselben geometrisch verwandte bifocale Systeme sind, so nennt der Verfasser das System bifocal - veränderlich. Die Natur der Veränderung ist durch die Bewegung der beiden Focalpunkte bedingt. Ist deren Geschwindigkeit in Grösse und Richtung gegeben, so ist die Geschwindigkeit jedes Systempunktes aus diesen Elementen zu ermitteln. Es wird die Construction derselben gegeben und die Untersuchung dann auf den geometrischen Ort der Systempunkte ausgedehnt, deren Bewegungsform gewissen Bedingungen unterworfen ist. So wird der Satz hergeleitet, dass alle Systempunkte, welche parallel gerichtete Geschwindigkeiten haben, in einer Hyperbel enthalten sind, dass der geometrische Ort der Punkte, welche eine gleich grosse Geschwindigkeit besitzen, eine gewisse Curve vierter Ordnung bildet u. s. w. Auf die analoge Verwandtschaft räumlicher Gebilde hat bereits Jacobi die Aufmerksamkeit gelenkt; dieselbe ist später von Herrn Hermes (Borchardt J. LXXIII. p. 209, siehe F.d.M. III. 1871. p. 380 (JFM 03.0380.01) und von Herrn Darboux (Mém. de Bord. VIII. p. 197, siehe F.d.M. IV. 1872. p. 420 (JFM 04.0420.02)) eingehender behandelt worden. Herr Burmester nennt sie die trifocale, und lässt ein System sich so während der Bewegung ändern, dass jede Phase mit dem Anfangszustand diese geometrische Verwandtschaft beibehält. Sind \(\Phi, \Psi, \Omega\) drei beliebig bewegliche Punkte, so ist ein Systempunkt \(P\) an die Bedingung geknüpft, dass seine Distancen von jeden Focalpunkten unveränderlich bleiben. Ist die Geschwindigkeit jener in einem Zeitmoment bekannt, so ist die Geschwindigkeit eines Systempunktes bestimmt; die Construction dieser Geschwindigkeit wird aus den bedingenden Elementen hergeleitet.