On the theory of functions. (Q5914927)

Aus der Gleichung \[ f(q^mv) = \sum^m_0 \frac {(q^mv-q^{\lambda-1} v)^k_1} {\left( \frac {1-q^{\lambda}}{1-q} \right)^k_1} f_q^k(v), \] wo \[ f_q'(v)= \frac {f(v)-f(qv)}{(1-q)v},\quad f_q'(v)= \frac{f_q'(v)-f_q'(qv)} {(1-q)v},\text{ u.s.w,} \] und \((q^mv-q^{\lambda-1} v)^k_1\) das Product von \(\lambda=0\) bis \(\lambda=k-1\) bedeutet, ergiebt sich die Formel: \[ f(x)=\sum^{\infty}_0 \frac {(x-q^{\lambda-1} v)^k_1} {\left( \frac {1-q^\lambda}{1-q} \right)^k_1} f^k_q(v), \] welche das Taylor'sche Theorem als speciellen Fall enthält. Dieselbe Operation führt ferner zu dem allgemeinen Binomialtheorem: \[ (x+q^{\lambda-1} y)^n_1 = \sum^{\infty}_0 {n \choose k}_q (x-q^{\lambda-1}v)^k_1 (v+q^{\lambda-1} y)^{n-k}_1, \] das in anderer Form von Schellbach (Lehre von den elliptischen Integralen etc. p. 19) gegeben ist. Aus diesem fliest wieder für \(n=\infty\text{und} q < 1\) die Formel: \[ \left( \frac{y+q^{\lambda} x} {y+q^{\lambda} v} \right)^\infty_1 = \sum^{\infty}_0 \left(\frac{q^{\lambda}}{1-q^{\lambda}} \cdot \frac{x-q^{\lambda-1}v} {y+q^{\lambda}v} \right)_1 \] und für \(y=1\): \[ \left( \frac {1+q^{\lambda}v}{1+q^{\lambda-1} x} \right)^\infty_1 = \sum^{\infty}_0 (-1)^k \left( \frac {x-q^{\lambda} v}{1-{q^\lambda}} \right)^k_1. \] Endlich leitet der Herr Verfasser aus den Formeln: \[ (x+q^{\lambda-1} y)^n_1 = (x+q^{n-\lambda} y)^n_1 \] und \[ (x+q^{\lambda-1}y)^{n+m}_1 = (x+q^{n-\lambda}y)^n_1 (x+q^{n+\lambda-1}y)^m_1 \] folgende 4 Relationen her: \[ (1+2q^{2\lambda-1} \cos 2\vartheta + q^{4\lambda-2} )_1^n \] \[ ={ {2n}\choose n }_{q^2} + 2\sum_1^n {{2n}\choose{n-k}}_{q^2} q^{k^2}\cos 2k\vartheta, \] \[ (1-2q^{2\lambda-1} \cos 2\vartheta + q^{4\lambda-2} )_1^n \] \[ ={{2n}\choose{n}}_{q^2} + 2\sum_1^n (-1)^k {{2n}\choose{n-k}}_{q^2} q^{k^2}\cos 2k\vartheta, \] \[ 2q^{\frac 14}\cos\theta(1+2q^{2\lambda} \cos 2\vartheta+ q^{4\lambda} )_1^{n-1} \] \[ 2= \sum_1^n {{2n-1}\choose{n-k}}_{q^2} q^{\frac{(2k-1)^2}{4}} \cos(2k-1)\vartheta, \] \[ 2q^{\frac 14}\sin\theta(1-2q^{2\lambda})\cos 2\vartheta+ q^{4\lambda})_1^{n-1} \] \[ =2 \sum_1^n (-1)^{k+1} {{2n-1}\choose{n-k}}_{q^2} q^{\frac{(2k-1)^2}{4}} \sin(2k-1)\vartheta, \] welche für \(q=1\) die bekannten Entwickelungen für \(\cos^{2n}\vartheta\), \(\sin^{2n}\vartheta\), \(\cos^{2n-1}\vartheta\), \(\sin^{2n-1}\vartheta\) und für \(q<1\), \(n=\infty\) die Entwickelungen der Jacobi'schen Functionen geben.