Note on spherical harmonics. (Q5914997)

Die Ausdrücke, mit welchen sich die vorliegende Arbeit beschäftigt, sind diejenigen, welche man in Deutschland ``Kugelfunctionen'', in Frankreich ``Fonctions sphériques'' nennt, während englische Mathematiker sie allgemein als Laplace'sche Functionen bezeichnen. Herr Sylvester verallgemeinert die gewöhnliche Theorie des Potentials. Sind \(P', P''\) zwei feste Punkte mit den Coordinaten \(h, k, l, h', k', l'\) und sind \(x, y,z\) die Coordinaten eines variabeln Punktes, dann ist, wenn \[ \begin{aligned} & R^{2} = (x - h)^{2} + (y - k)^{2} + (z - l)^{2},\\ & R^{\prime 2} = (x - h')^{2} + (y - k')^{2} + (z - l')^{2},\end{aligned} \] das betrachtete Integral \(\iiint\;\frac{dV}{RR'}\), welches Herr Sylverster das ``Bipotential'' nennt. Er leitet Eigenschaften dieser Function ab, welche Verallgemeinerungen der Laplace'schen Sätze sind und die Theorie auf einen Raum von \(n\) Dimensionen ausdehnen. Die Arbeit enthält einige wichtige Winke, da die Bestimmung des Bipotentials der Theorie der bestimmten Integrale ein weites Feld eröffnet und zur Auswerthung einiger Klassen derselben fruchtbar zu werden verspricht. Namentlich ist ein Satz bemerkenswerth, der dem Ivory'schen Satze über Anziehung analog ist.