On Fourier series (Q5915148)

Es handelt sich um die Erweiterung der Gültigkeit der Fourier'schen Entwicklung über die Beschränkung hinaus, welche Dirichlet in seinem berühmten Beweise (Sur la convergence des séries trigonométriques etc. Crelle J. IV, 157) für die darzustellende Function dahin festgestellt hat, dass dieselbe im betrachteten Intervalle endlich sein muss und nur eine endliche Anzahl Maxima haben darf. Dirichlet selbst hat einen weitergehenden Satz (1. c. p. 169) in Aussicht gestellt, ohne jedoch später darauf zurückzukommen. Der Herr Verfasser ist nun nach vergeblichen auf diese Erweiterung gerichteten Versuchen zur Ueberzeugung gelangt, dass der von Dirichlet angedeutete allgemeinste Satz nicht existire, und sucht vielmehr die Bedingungen auf, unter welchen die Fourier'sche Reihe bei durchgängiger Endlichkeit und Stetigkeit der Function für einzelne Argumente keine bestimmte Summe hat. In der einfachsten Gestalt ist \[ f(x) \; = \; \varrho (x) \cdot \sin(\psi (x)) \] eine solche nicht darstellbare stetige Function, wenn \(\varrho (x)\) mit \(x\) ohne Maxima verschwindet und \(\varrho (x)\) mit verschwindendem \(x\) mit unendlich vielen Maximis stetig unendlich wird. Andrerseits giebt der Herr Verfasser eine neue Bedingung für die Gültigkeit der Fourier'schen Reihe, welche sowohl die Dirichlet'sche als die von Herrn Lipschitz (Borchardt J. LXIII, p. 286) angegebene Bedingung einschliesst und noch weitere Fälle umfasst. Sie besagt, dass die Fourier'sche Entwickelung gilt, wenn das Integral \[ \int_0^a \; d\alpha \frac{d}{d\alpha} \frac 1\alpha \int_0^a \; f(\beta ) d\beta \] absolut convergent ist. Diese Bedingung ist jedoch, wie der Herr Verfasser durch Beispiele festgelegt hat, noch nicht die nothwendige.