On the exponential function. (Q5915163)

Eine Aufgabe, welche als eine Verallgemeinerung des Problems der Annäherung durch algebraische Kettenbrüche angesehen werden kann, ist folgende: ,,Die \(n\) rationalen Brüche \[ \frac{\varPhi _1(x)}{\varPhi (x)},\frac{\varPhi _2(x)}{\varPhi (x)}, \cdots \frac{\varPhi _n (x)}{\varPhi (x)} \] als Näherungswerthe der \(n\) Functionen \(\varphi _1(x), \varphi _2(x), \cdots \varphi _n(x)\) so zu bestimmen, dass die Reihenentwickelungen nach steigenden Potenzen von \(x\) bis zur Potenz \(x^M\) übereinstimmen``. Es werde vorausgesetzt, dass sich die Functionen \(\varphi (x)\) in Reihen von der Form \(\alpha + \beta x + \gamma x^2 + \cdots\) entwickeln lassen, und man mache \[ \varPhi (x)=Ax^m + Bx^{m-1} + \cdots + Kx + L. \] Dann kann man im Allgemeinen über die Coefficienten \(A, B, \cdots L\) so verfügen, dass in den Producten \(\varphi _i (x) \varPhi (x)\) die Glieder mit \[ x^M, x^{M-1}, \cdots x^{M-\mu _i +1}, \] wo \(\mu _i\) irgend eine ganze Zahl ist, verschwinden. So bildet man \(\mu _i\) homogene Gleichungen ersten Grades und hat \[ \varphi _i (x)\varPhi (x) = \varPhi _i (x)+\varepsilon _1 x^{M+1}+\varepsilon _2 x^{M+2} + \cdots , \] wo \(\varepsilon _1, \varepsilon _2, \cdots\) Constanten, \(\varPhi _i(x)\) ein ganzes Polynom vom Grade \(M-\mu _i\). Da aber hieraus folgt, dass \[ \varphi _i(x) = \frac{\varPhi _i(x)}{\varPhi (x)} + \frac {\varepsilon _1 x^{M+1} + \varepsilon _2 x^{M+2} + \cdots}{\varPhi (x)}, \] so sieht man, dass die Reihenentwickelungen des rationalen Bruches und der Function in der That dieselben sein werden bis zu \(x^M\), und da die Gesammtzahl der gemachten Bedingungen gleich \(\mu _1 + \mu _2 + \cdots + \mu _n\) ist, so genügt es, die einzige Bedingung \[ \mu _1 + \mu _2 + \cdots + \mu _n = m \] hinzuzufügen, wo die ganzzahligen \(\mu _i\) bis dahin ganz willkürlich geblieben sind. Diese Betrachtung ist der Ausgangspunkt, den der Herr Verfasser für die in seiner Arbeit entwickelte Theorie der Exponentialfunction genommen hat, indem er nämlich das Obige anwendet auf die Grössen \[ \varphi _1(x)=e^{ax},\varphi _2(x) = e^{bx}, \cdots \varphi _n(x) = e^{hx}. \]