On the theory of linear differential equations. (Q5915202)

Herr Fuchs hatte (Borchardt J. LXVI. 139 und LXVIII. p. 359) die Form der linearen Differentialgleichung festgestellt, welche nothwendig und hinreichend ist, damit ihre sämtlichen Integrale in der Umgebung eines singulären Punktes \(x=a\) mit einer Potenz von \((x-a)\) multiplicirt nicht mehr unendlich werden. Der Verfasser giebt zunächst für die Nothwendigkeit der erwähnten Form einen neuen Beweis, welche unter Zuhülfenahme eines ebenfalls von Herrn Fuchs (Borchardt J.LXVIII. \S3 V.) gegebenen Satzes und einiger daraus abgeleiteten Resultate mittelst des Schlusses von \(n\) auf \(n+1\) geführt wird, da nämlich für die Differentialgleichung erster Ordnung die betreffende Form sich unmittelbar ergiebt (\S\S 1-4). Der Verfasser sucht darauf das Resultat dahin zu verallgemeinern, dass er die Form bestimmt, welche die Differentialgleichungen haben müssen, wenn weniger als \(n\) (die Ordnungszahl der Differentialgleichung) und zwar wenigstens \(n-h\) linear-unabhängige Integrale obige Beschaffenheit haben sollen. Die Bedingungen jedoch, welche der Verfasser hierfür auf dem vorher eingeschlagenen Wege findet (\S5), sind, wie der Verfasser selbst nachweist, keineswegs hinreichend. Es lässt sich nun behaupten, dass falls die Coefficienten der Differentialgleichung in der Umgebung von \(x=a\) die daselbst angegebenen Bedingungen erfüllen, die etwa vorhandenen Integrale von der verlangten Beschaffenheit die Form \((x-a)^r\varphi\) annehmen, wo \(r\) eine Wurzel einer Gleichung \(n-k^{\text{ten}}\) Grades ist. Falls nicht unter den Wurzeln \(r\) gleiche oder bloss um ganze Zahlen von einander verschiedene vorkommen, so erhält man für die \(\varphi n-h\) vollständig bestimmte, nach ganzen positiven Potenzen von \(x-a\) fortschreitende Reihenentwickelungen, welche formell der Differentialgleichung genügen, die aber im Allgemeinen ebensowohl convergent als divergent sein können. Die convergenten unter ihnen liefern die gesuchten Integrale. Die Modificationen, welche in dem Falle gleicher oder bloss um ganze Zahlen verschiedener Wurzeln eintreten, werden noch zum Schluss erörtert.