The character of convergence of series. (Q5915235)

Der Verfasser giebt in dieser Note ein Kriterium für die Convergenz unendlicher Reihen mit positiven Gliedern, das er im August 1871 dem Congress russischer Naturforscher in Kiev vorgelegt hat. Er geht von folgendem Satze Cauchy's aus: ``Bezeichnet \(f(x)\) eine positive abnehmende Function von \(x\), so wird die Reihe \(f(0) + f(1) + f(2) + \cdots\) convergent oder divergent sein, je nachdem das Integral \(\int_0^{\infty}\) einen endlichen Werth hat oder nicht.'' Er leitet daraus folgenden Satz ab: ``Ist \(\varphi \;(x)\) eine positive Function, die der Ungleichheit \(\varphi \;(x) > x\) für jeden Werth von \(x\) genügt, welcher eine gewisse Grenze überschreitet, so wird die Reihe \(f(0) + f(1) + f(2) + \cdots\) convergent oder divergent sein, je nachdem das Verhältniss \[ \frac{\varphi'(x) f(\varphi \;(x))}{f(x)} \] für \(x\), die bis in's Unendliche wachsen, gegen eine Grenze geht, die kleiner oder grösser ist, als die Einheit.'' Der Beweis des Verfassers ist nicht streng, aber es ist leicht, ihm durch einige Modificationen die erforderliche Strenge zu geben. Die Wichtigkeit des Theorems von Herrn Ermakof geht schon aus dem einen Umstand hervor, dass die Convergenzregeln von Herrn Morgan und die von Herr Bertrand, die so viele Reihen umfassen, weniger umfassend sind, als die Kriterien, die sich aus diesem Satze ergeben. Eins unter ihnen entsteht, wenn man \(\varphi (x)=a^x\) (\(a\) eine positive Constante, grösser als 1) macht. Der Verfasser giebt noch einige Sätze, die den Grad der Genauigkeit der Kriterien betreffen, die den verschiedenen Functionen \(\varphi (x)\) entsprechen.