On rational space curves. (Q5915261)

Eine rationale Raumcurve \(C\) vom \(n^{\text{ten}}\) Grade wird durch folgende Gleichungen definirt: \[ x_{i} = a_{i_0}\; \xi^{n} + a_{i_1}\; \xi^{n-1} + \cdots + a_{i_n} = f_{1}(\xi), \] was 4 Gleichungen bedeutet \((i=1, 2, 3, 4)\). \(x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}\) sind die homogenen Coordinaten eines Punktes \(x\) von \(C\), \(\xi\) ein variabler Parameter. Die Beziehug zwischen einem Punkt der Curve und einem Werthe von \(\xi\) ist nun eine solche, dass jedem Punkt ein einziges \(\xi\) entspricht und umgekehrt. D. h. die Curvenpunkte und die Werthe von \(\xi\) sind in einer Correspondenz ersten Grades. Den Doppelpunkten der Curve (wenn es deren giebt) entsprechen ebenso viele Paare von Werthen des Parameters \(\xi\), so dass ein solches Paar die beiden unendlich benachbarten Punkte des Doppelpunktes charakterisirt. Fallen die beiden Werthe des Parameters, die einem Doppelpunkt entsprechen, zusammen, so wird dies ein Rückkehrpunkt. Aehnliches für \(m\)fache Punkte. Die Eigenschaft der Curve \(C\), dass die Coordinaten ihrer Punkte sich rational durch einen einzigen Parameter ausdrücken lassen, ist der Grund, dass man sie punktweise auf einer Geraden darstellen kann. Man braucht hierzu nur \(\xi\) als Parameter eines Punktes auf einer festen Geraden zu betrachten, ferner kann man die Curve \(C\) punktweise auf jeder andern rationalen Curve darstellen. Man wird also auf der Curve \(C\) dieselben Punktsysteme betrachten können, wie auf einer Geraden: Projectivische Punktreihen und Involutionen irgend eines Grades. Jedes Theorem von Punktsystemen einer Geraden wird sich hiernach auf die Curve \(C\) übertragen lassen. Ferner kann man die Curve \(C\) als die Enveloppe ihrer Schmiegungsebenen ansehen, und dieselbe eindeutige Beziehung zwischen einer solchen Ebene und einem gewissen Parameter aufstellen. Betrachtet man nun im Raum irgend eine Gerade \(R\) als Axe eines Ebenenbüschels, so schneidet jede solche Ebene die Curve in einer Gruppe von \(n\) Punkten; da nun eine solche Gruppe durch einen ihrer Punkte individualisirt ist, so bilden alle solchermassen erhaltenen Gruppen eine Involution \(n^{\text{ten}}\) Grades. Diese hat nun \(2(n-1)\) Doppelelemente, und folglich berühren ebenso viele Ebenen des Büschels \(R\) die Curve \(C\). Jede dieser Ebenen enthält eine Tangente von \(C\), und diese Tangente trifft \(R\) in einem Punkte, der der abwickelbaren Fläche, die \(C\) osculirt, angehört. Also: Die abwickelbare osculirende Fläche einer rationalen Curve \(C\)\; \(n^{\text{ten}}\) Grades ist vom Grade \(2(n-1)\). Hat \(R\) einen Punkt mit \(C\) gemein, so ist die Involution, welche die Ebenen durch \(R\) auf \(C\) bestimmen, nur noch vom Grade \(n-1\) und hat also \(2 (n-2)\) Doppelelemente, welchen ebenso viele Schnittpunkte von \(R\) mit der abwickelbaren osculirenden Fläche entsprechen; da diese aber von der Ordnung \(2(n-1)\) ist, so zählt der Durchschnitt von \(C\) mit \(R\) für zwei einfache Punkte. In dieser Weise gehen die Betrachtungen weiter. Jeder Rückkehrpunkt von der \(r^{\text{ten}}\) Ordnung vermindert die Ordnung der abwickelbaren osculirenden Fläche um \(R\) Einheiten. Irgend zwei Gerade \(R\) und \(R'\) erzeugen auf \(C\) zwei Involutionen \(n^{\text{ten}}\) Grades, welche \((n-1)^{2}\) Punktenpaare haben, die gleichzeitig einer Gruppe der einen und einer Gruppe der andern Involution angehören. Also: Es giebt \((n-1)^{2}\) Gerade, die sich auf zwei willkürliche Gerade stützen und \(C\) zwei Mal treffen. Ferner: Eine bewegliche Gerade, die sich auf eine feste Gerade \(R\) stützt und die Curve \(C\) zweimal trifft, erzeugt eine windschiefe Fläche von der Ordnung: \((n-1)^{2}\). Es folgen nun zahlreiche Resultate über Treffgeraden, Tangenten, Berührungsebenen etc. der Curve \(C\), die nicht weiter hier angegeben werden können.