Feuerbach's theorem. (Q5916516)

Die bekannte Tatsache, daß der \textit{Feuerbach}sche Kreis und der Inkreis eines Dreiecks einander berühren, läßt sich mit Hilfe der elementaren Trigonometrie beweisen, wenn man von der Formel für den Inhalt \(I\) des Fußpunktsdreiecks eines beliebigen Punktes \(P\) in bezug auf das Dreieck \(ABC\) Gebrauch macht: \[ I=\tfrac{1}{2}\,(R^2-d^2)\,\sin\,A\,\sin\,B\,\sin\,C. \] Dabei bedeutet \(R\) den Umkreisradius des Dreiecks \(ABC\) und \(d\) den Abstand des Punktes \(P\) vom Umkreismittelpunkt.