Théorie unitaire du champ physique. (Q5916537)

Gegenstand der Vorlesungen, die Verf. im November 1929 am Institut \textit{H. Poincaré} gehalten und die \textit{A. Proca} redigiert und hier veröffentlicht hat, ist die auf die \textit{Riemann}-Metrik und den Fernparallelismus gegründete einheitliche Theorie des physikalischen Feldes. Sie ist vom Verf. in den Jahren 1928-1931 in Angriff genommen und mit ständigen Verbesserungen entwickelt worden (1928, 1929, 1930; F.~d.~M. 54, 942, 943; 55\(_{\text{I}}\), 497, 498; 56\(_{\text{I}}\), 734, 735; s. auch die nachstehend besprochene Arbeit). Die vorliegende Darstellung unterscheidet sich von der in Math. Ann. 102 (1930), 685-697 gegebenen nur durch größere Ausführlichkeit in den Entwicklungen und den Darlegungen, die zur Klarstellung der Ansichten des Verf. dienen, sowie in den physikalischen Deutungen der Theorien. Die analytischen und geometrischen Grundlagen derselben waren großenteils schon gelegt in Arbeiten von \textit{E Cartan, R Weitzenböck, G. Vitali, L. P. Eisenhart} sowie Verf.; und in weiteren Arbeiten von \textit{R. Weitzenböck, E. Cartan, T. Levi-Civita} und Ref., die den ersten Untersuchungen von \textit{Einstein} über den Gegenstand folgten, wurden diese Grundlagen auch weiter geklärt. S. auch für weitere bibliographische Angaben: \textit{E.Cartan} (1930; F.~d.~M. 56\(_{\text{I}}\), 615), \textit{T. Levi-Civita} (1929; F.~d.~M. 55\(_{\text{I}}\), 499), Ref. (1929; F.~d.~M. 55\(_{\text{I}}\), 412). Verf. geht jedoch in der vorliegenden Darstellung der Theorie ebenso wie in den früheren einen eigenen Weg, unabhängig von den eben erwähnten Untersuchungen anderer und auch von der allgemeinen Theorie der linearen Zusammenhänge, deren Kenntnis er nicht voraussetzt. Verf. erinnert zunächst daran, daß die Raum-Zeit-Metrik nicht auszureichen scheint, um auch von elektromagnetischen Erscheinungen Rechenschaft zu geben. An Stelle des metrischen Tensors \(g_{\lambda \mu}\) führt er nun ein Feld von \(n\)-Beinen \(h_s^{\lambda}\) ein, das geeignet ist, nicht nur eine Metrik zu bestimmen, bezüglich derer die Vektoren der \(n\)-Beine orthogonale Einheitsvektoren sind (wie schon seit den Untersuchungen von \textit{Ricci} und \textit{Levi-Civita} über die \(n\)-tupel von orthogonalen Kongruenzen wohl bekannt ist), sondern auch einen integrablen euklidischen Zusammenhang, d. h. einen solchen mit absolutem Parallelismus, aber mit nicht verschwindender Torsion; d. i. der Zusammenhang von \textit{Weitzenböck} und \textit{Vitali} mit den Parametern \(\varDelta_{\alpha \beta}^{\mu} = h_s^{\mu} h_{s \alpha, \beta}\) (wo das Komma Symbol der gewöhnlichen Differentiation ist). Das dem allgemeinen Punkt der raumzeitlichen \(V_4\) zugeordnete \(n\)-Bein ist als gegeben anzusehen nur bis auf eine beliebige konstante Rotation; das bedeutet, daß man, um die Geometrie in der \(V_4\) zu definieren, einen ``affinen Stern von Vektorfeldern'' angibt, d. h. eine Metrik und in Verbindung mit ihr einen ``Winkelstern von Kongruenzen''; vgl. die oben zitierte Note des Ref. aus Rend. Accad. d. L. Roma (6) 9 (1929), 530-538. Verf. stellt durch direkte Übertragungen zwei Gruppen von Identitäten zwischen den Komponenten des Torsionstensors \(\tfrac{1}{2} \varLambda_{\lambda \nu}^{\mu} = \tfrac{1}{2} (\varDelta_{\lambda \nu}^{\mu} - \varDelta_{\nu \lambda}^{\mu})\) auf; es sind dies die Gleichungen (21) und (23) auf S. 11 u. 12 (die leicht auch aus bekannten Formeln der allgemeinen Theorie folgen); nachdem er dann die Tensoren \[ G^{\mu \alpha} = (\varLambda_{\tau \omega; \nu}^{\alpha} \varLambda_{\tau \omega}^{\sigma} \varLambda_{\sigma \nu}^{\alpha}) \, g^{\tau \mu} \, g^{\omega \nu}, \quad F^{\mu \alpha} =\varLambda_{\tau \omega; \nu}^{\nu} g^{\tau \mu} \, g^{\omega \alpha} \] eingeführt hat (wo das Zeichen ``;'' kovariante Differentiationen nach den Parametern \(\varDelta_{\mu \nu}^{\lambda}\) bedeutet), bemerkt er, daß sich die letzten Identitäten so schreiben lassen: \[ G^{\mu \alpha} {}_{; \alpha} - F^{\mu \alpha} {}_{; \alpha} g^{\mu \tau} \, g^{\omega \nu} \, (\varLambda_{\tau \omega}^{\alpha} F_{\nu \alpha} = 0. \] Er zeigt, wie man darauf geführt wird, als Feldgleichungen die folgenden anzunehmen: \[ G^{\mu \alpha} = 0, \quad F^{\mu \alpha} = 0. \] Verf. wirft dann die Frage der Kompatibilität dieser Feldgleichungen auf: Auf kunstvollem Wege erhält er andere Identitäten zwischen den \(G^{\mu \alpha}, \, F^{\mu \alpha}\) und ihren Derivierten (unter ihnen sind drei von den vier oben erwähnten und untereinander unabhängig: Die Beziehungen (34), S. 19, die in invarianter Gestalt zu geben nicht schwer wäre, wenn man kovariante statt der gewöhnlichen Derivierten einführte und die Skalare \(\psi\) und \(h\) eliminierte). Ein erster Beweis der Kompatibilität der Feldgleichungen folgt gerade aus der Abzählung der unbekannten Funktionen, der Feldgleichungen und der voneinander unabhängigen Identitäten, denen die linken Seiten jener Gleichungen genügen müssen, aber Verf. läßt einen zweiten Beweis folgen (vgl. die schon zitierte Note Sitzungsberichte Akad. Berlin 1930, 18-23). Dieser Beweis stützt sich auf die Bemerkung, daß, wenn alle Gleichungen des Feldes im Schnitt mit einer Hyperebene \(x^4 = a\) der Raum-Zeit-\(V_4\) erfüllt sind und ferner eine gewisse Gruppe dieser Gleichungen in der ganzen \(V_4\), zufolge der Identitäten zwischen \(G^{\mu \alpha}, \, F^{\mu \alpha}\) und ihren Derivierten alle Gleichungen des Feldes in der ganzen \(V_4\) erfüllt sind. Schließlich zeigt Verf., wie in erster Annäherung, d. h. wenn sich die \(V_4\) unendlich wenig von einem euklidischen Raum unterscheidet, die Feldgleichungen in zwei Gruppen zerfallen, die, wie es scheint, sich als Gleichungen des Gravitationsfeldes und des elektromagnetischen Feldes deuten lassen. Die Möglichkeit experimenteller Bestätigung der Theorie ist (nach Verf.) abhängig von der Auffindung von singularitätenfreien Integralen der Feldgleichungen, die die Möglichkeit bieten, eine korrekte Lösung des Problems der Massenpunkte und ihrer Bewegung zu geben. Aber Verf. hat nach einer weiteren Untersuchung (s. nachstehende Besprechung), nämlich der Typen der möglichen Feldgleichungen, welche in einem \textit{Riemann}schen Raum mit Fernparallelismus gesetzt werden können, vorgezogen, die einheitliche Theorie des physikalischen Feldes wesentlich umzugestalten, wobei er sich den Ansichten von \textit{Th. Kaluza} nähert; vgl. dazu die an übernächster Stelle besprochene Arbeit von \textit{A. Einstein} und \textit{W. Mayer}.