Gelöste und ungelöste Probleme im Umkreis des Auswahlprinzips. (Q5916585)

Verf. spricht von folgenden drei Problemkreisen, die im Zusammenhang mit dem Auswahlprinzip stehen: (1) der Theorie der endlichen Mengen, (2) der Unabhängigkeit des Auswahlprinzips von den übrigen Axiomen der \textit{Zermelo}schen Mengenlehre (Verf. 1922; F. d. M. 48, 199 (JFM 48.0199.*)), (3) der von Verf. als ``Ordnungssatz'' bezeichneten Aussage, daß jede Menge geordnet werden kann. Bei (1) formuliert Verf., ausgehend von dem von \textit{Tarski} (1924; F. d. M. 50, 135 (JFM 50.0135.*)) gegebenen Überblick über die verschiedenen bekannten Definitionen der endlichen Menge, das folgende ungelöste Problem: Die verschiedenen Definitionen der Endlichkeit sollen auf eine Folge von Klassen derart verteilt werden, daß I) jede im Sinne einer gewissen Definition endliche Menge sich ohne Auswahlprinzip als endlich im Sinne der Definition \textit{derselben} oder irgendeiner \textit{nachfolgenden} Klasse erweisen läßt; II) zum Nachweis der Endlichkeit im Sinne einer Definition einer \textit{vorangehenden} Klasse die Hinzunahme des Auswahlprinzips oder eventuell eines anderen schwächeren Axioms erforderlich ist. Über die Stellung des in (3) behandelten Ordnungssatzes sind im Sinne einer vollständigen Disjunktion a priori nur die folgenden drei Fälle denkbar: A) Der Ordnungssatz läßt sich ohne Auswahlprinzip aus den übrigen Axiomen herleiten. B) Aus der Annahme des Ordnungssatzes läßt sich unter Heranziehung der übrigen Axiome das Auswahlprinzip bzw. der Wohlordnungssatz ableiten, d. h. der Ordnungssatz ist dem Wohlordnungssatz gleichwertig. C) Der Ordnungssatz ist zwar unabhängig von den übrigen Axiomen, aber nicht hinreichend zum Beweis des Auswahlprinzips. Verf. beweist die Unmöglichkeit von A), während die Entscheidung zwischen B) und C) noch offen ist. Die am Schluß des Vortrages formulierte Frage, ob der bei endlichen Summanden sich ergebende Spezialfall des Auswahlprinzips wirklich \textit{schwächer} als das allgemeine Prinzip sei, hat Verf. inzwischen in einem Vortrage vor der Tagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in Bad Elster (September 1931) (Jahresbericht D. M. V. 41 (1932), 88 kursiv) in Bestätigung der hier geäußerten Vermutung in bejahendem Sinne beantworten können.