Über Gitterpunkte in mehrdimensionalen Ellipsoiden. (Q5916653)

Es sei \(x > 0, r\geq 4\) und ganz, \[ Q(u)=\sum^r_{\varrho, \sigma=1}a_{\varrho\sigma}u_{\varrho}u_{\sigma}\tag{1} \] eine positiv definite quadratische Form mit reeller symmetrischer Matrix und der Determinante \(D\); ferner bedeute \(A_Q(x)\) die Anzahl der Gitterpunkte im Ellipsoid \[ Q (u) \leqq x,\tag{2} \] \(I_Q(x)\) das Volumen von (2) und \(P_Q(x)\) den ``Gitterrest'', also: \[ I_Q (x) = \dfrac{\pi^{\tfrac{r}{2}}} {\sqrt D\cdot \varGamma\bigl(\frac{r}{2}+1\bigr)}x^{\frac{r}{2}},\quad P_Q (x) =A_Q (x) - I_Q (x). \] Die Verf. betrachten ``irrationale'' Formen \(Q\), d. h. solche, bei denen die \(a_{\varrho\sigma}\) nicht rational oder rationale Vielfache ein und derselben Irrationalität sind. Für Dimensionszahlen \(r \geqq 6\) gilt bekanntlich [\textit{V. Jarník}, Math. Ann. 101, 136--146 (1929; JFM 55.0110.03)]: \[ P(x)=o\bigl (x^{\tfrac{r}{2}-1}\bigr).\tag{3} \] Die Verf. zeigen: \begin{itemize} \item[(A)] Für \(r = 5\): \[ P (x)=o\bigl(x^{\tfrac32}\bigr). \] \item[(B)] Für \(r=4\): Ist \(\varphi (x)\) für \(x >0\) definiert und positiv, und ist \[ \lim_{x\to \infty} \varphi (x) = 0, \] dann ist für ein geeignetes irrationales quaternäres \(Q (u) = Q (u; \varphi)\): \[ P(x) =\varOmega (x\varphi (x) \log \log x). \] \end{itemize} Also gilt (3) für \(r = 5\), ist aber für \(r = 4\) sicher falsch. Der Beweis von (A) schließt sich eng an die erwähnte Arbeit von \textit{Jarník} an. Dem elementaren Beweis von (B) liegt folgender Hilfssatz zugrunde: Für ganze \(n, p, q > 0\) sei \(r_{p,q} (n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) durch die Form \[ q^2(u_1^2+u_2^2+u_3^2)+p^2u_4^2; \] dann gibt es eine positive absolute Konstante \(a\), so daß \[ \limsup_{n\to\infty}\frac{r_{p,q}(n)}{n\cdot \log\log n}>\dfrac{a}{p^2q^2} \] ist.