Sur la croissance des fonctions entières. (Q5916690)

Es werden ganze Funktionen \[ f(z)=\sum c_\nu e^{i\alpha _\nu }z^\nu = \sum e^{-g_\nu +i\alpha_\nu }z^\nu \] betrachtet und die Zusammenhänge zwischen den Funktionen \[ F(r)=\sum c_\nu r^\nu = m(r)\omega (r),\quad M_2^2(r)=\sum c_\nu ^2 r^\nu = m^2(r)\omega _2^2(r),\quad M(r) \] untersucht. Dabei ist \(m (r)\) das größte Glied von \(F (r)\) und \[ M(r)=\operatornamewithlimits{Max}_{|z|=r} |f(z)|. \] Die Untersuchung bezieht sich teils auf beliebige ganze Funktionen, teils auf solche, die gewisse Regularitätsbedingungen erfüllen. Bei der Formulierung derselben spielt eine stetige Funktion \(g(\xi)\) eine Rolle, für die \(g(\nu ) = g_\nu \) ist. Dann sind die drei in Betracht kommenden Regularitätsbedingungen diese: \[ g'(\xi )\quad \text{ist nie abnehmend.}\tag{\(\text{C}\)} \] \[ \frac {d}{dx}\,\frac {1}{\sqrt {|g^{\prime\prime }(\xi )|}} = o\,(1).\tag{\(\text{R}\)} \] \[ g^{\prime\prime }(\xi ) = o\,(1).\tag{\(\text{B}\)} \] Neben vielen alten Ergebnissen von \textit{Wiman, Valiron, Brinkmeier} werden auch manche neue gewonnen. Sind z. B. (\(R\)) und (\(B\)) erfüllt, so ist \[ M_2^2(r)\sim \frac {m(r)F(r)}{\sqrt 2}. \] Ist (C) erfüllt, so ergibt sich u. a. \[ m(r)F(r)>M_2^2(r)>\frac {1}{2}m(r)F(r)\Bigl(1-\frac {1}{\omega (r)}\Bigr). \] Diese Abschätzung gilt nicht mehr für \(aM_2^2(r)\), wenn \(a\) eine Konstante \(\neq 1\) ist. Verzichtet man auf Regularitätsaimahmen, so kann man bei gegebener Größenordnung von \(\omega (r)\) immer \(f(z)\) so wählen, daß \(\omega _2(r)\) und \(\dfrac {M(r)}{m(r)}\) beliebig langsam wachsen, ja sogar so, daß \(\omega _2(r)\) beschränkt ist. Im zweiten Kapitel werden Funktionen mit gegebenen \(c_\nu \) und dem Zufall überlassenen \(\alpha _\nu \) betrachtet. Dann existiert eine Funktion \(\varphi (\omega )\) die für \(\omega \to \infty \) asymptotisch gleich \(\frac {5}{2} \log \omega \) ist, derart, daß die Ungleichung \[ M^2(r) < e^a M_2^2(r)\varphi [\omega _2(r)] \] für jedes einzelne \(r\) bei \(a > 0\) richtig sein kann. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Ungleichung nicht stimmt, ist kleiner als eine Funktion von \(a\) und \(\omega _2(r)\), die für \(\omega _2\to \infty \) asymptotisch gleich \[ \sqrt {5\pi \log \omega _2(r)}\cdot \bigl[\omega _2(r)\bigr]^{ \frac {5a}{2}} \] ist. Verwandte Sätze werden unter den eingangs genannten Regularitätsannahmen hergeleitet.