The mean value of the zeta-function on the critical line. (Q5916697)

Verf. gibt zunächst einen Überblick über die bisherigen Beweise der Formel \[ \int_0^T |\zeta (\tfrac{1}{2}+it)|^2 \,dt \sim T\log T \] und des äquivalenten Satzes, daß \[ \int_0^\infty e^{-\delta t}\left|\zeta\left(\dfrac{1}{2}+it\right)\right|^2 \,dt \sim \dfrac{1}{\delta}\log \dfrac{1}{\delta} \qquad (\delta > 0) \] ist, wenn \(\delta\to 0\) [\textit{G. H. Hardy} und \textit{J. E. Littlewood}, Acta Math. 41, 119--196 (1917; JFM 46.0498.01); Proc. Lond. Math. Soc. (2) 20, XXIX--XXX (1922); ibid. 21, 39--74 (1922; JFM 48.0345.01); ibid. 29, 81--97 (1929; JFM 55.0203.05); \textit{E. C. Titchmarsh}, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 27, 137--150 (1927; JFM 53.0313.02); \textit{A. E. Ingham}, Proc. Lond. Math. Soc. (2) 27, 273--300 (1927; JFM 53.0313.01)]. Verf. beweist: Wenn \(\delta > 0\), so gilt für \(\delta\to 0\) \[ \int_0^\infty e^{-\delta t} \left|\zeta\left(\dfrac{1}{2}+it\right)\right|^2 \,dt = \dfrac{1}{\delta}\log\;\dfrac{1}{\delta} - \dfrac{\log 2\pi - C}{\delta} + O\left(\dfrac{1}{\sqrt{\delta}}\log^\tfrac{3}{2} \dfrac{1}{\delta}\right), \] wobei \(C\) die Eulersche Konstante ist. Beim Beweise benutzt Verf. die folgenden drei Hilfssätze: (1) Bezeichnet \(d(n)\) die Anzahl der Teiler der natürlichen Zahl \(n\), und ist \(x > 1\), so gilt \[ \begin{gathered} \tau (x) = \sum_{n\le x} d(n) = x\log x + (2C -1)x + O(\sqrt{x}), \\ \sum_{n\le x}\dfrac{d(n)}{n} < A\log^2x, \;\sum_{n > x}\dfrac{d(n)}{n^2} < \dfrac{A\log x}{x}; \end{gathered} \] dabei bedeutet \(A\) eine positive Konstante, aber nicht notwendig dieselbe in den beiden Formeln. (2) Für \(m > 0\) und \(a > 0\) ist \[ \int_0^\infty\dfrac{\cos mx}{a^2+x^2}\,dx = \dfrac{\pi}{2a}e^{-ma}. \] (3) Für reelles \(t\) ist \[ \left|\zeta\left(\dfrac{1}{2}+it\right)\right|^2 = \dfrac{1}{2(t^2+\tfrac{1}{4})} - \dfrac{2}{\pi} \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{d(n)}{n}\int_1^\infty\dfrac{d}{du} \left(\dfrac{\cos{t}\log{u}}{\sqrt{u}}\right)\sin\; 2\pi nu\,du. \] (III8.)