A note on automorphic functions. (Q5916772)

Bekanntlich ist die Hauptuniformisierende im hyperelliptischen Fall \[ \omega^2=\varPhi(z)=(z-e_1)\dots(z-e_{2n+2}) \] Quotient zweier Lösungen der Differentialgleichung \[ \displaylines{\leftskip=-1in\rightskip=1in\hss \frac{d^2y}{dz^2}+\dfrac3{16}\left\{\sum_1^{2n+2}\frac1{(z-e_r)^2}+ \frac{-(2n+2)z^{2n}+2np_1z^{2n-1}+c_1z^{2n-2}+\cdots+c_{2n-1}}{\varPhi(z)} \right\}y=0. \hss} \] Hier ist \(p_1 = \sum e_\nu\), und \(c_1\),\dots, \(c_{2n-1}\) sind Konstanten, die eben so bestimmt werden können, daß die ausgesprochene Behauptung stimmt. \textit{J. M. Whittaker} leitet einige notwendige Bedingungen für die c her. Daraus folgt, daß für den Fall, daß die \(c\) Polynome in den \(e\) sind -- was \(Whittaker\) für wahrscheinlich hält -- die gesuchte Differentialgleichung die Form \[ \frac{d^2y}{dz^2}+\frac3{16}\left[\left( \frac{\varPhi'(z)}{\varPhi(z)}\right)^2\frac{2n+2}{2n+1}\frac{\varPhi''(z)}{\varPhi(z)} \right]y=0 \] hat. \textit{E. T. Whittaker}, der 1898 die erstgenannte Differentialgleichung angab, hat 1929 (F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 229) bewiesen, daß für \(\varPhi (z) \equiv 1 + z^5\) die zuerstgenannte Differentialgleichung die richtige ist. \textit{M. Mursi} beweist dies in der hier zu besprechenden Arbeit für \(\varPhi (z) \equiv 1 + z^7\). \textit{D. P. Dalzell} zeigt, daß für \(\varPhi (z) \equiv z^n-1\) nicht nur die zweitgenannte, sondern für \(\dfrac2n+\dfrac1p<1\), \(n\), \(p\) ganz, auch \[ z^2\frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{n^2(p^2-1)z^n}{4p^2(z^n-1)^2}y=0 \] und endlich auch (\(n\to\infty\)) \[ \frac{d^2y}{dz^2}+ \frac{p^2-1}{4p^2} \frac{e^z}{(e^z-1)^2}y=0,\;p\geqq2, \] zu \textit{Fuchs}schen Funktionen führen.