Integralgleichungen. (Q5916773)

Die bekannte ``Einführung in die Determinantentheorie'' des Verf. (F. d. M. 40, 206 (JFM 40.0206.*); 41, 184-185) enthielt in ihrer ersten, 1909 erschienenen Auflage in einigen der Theorie der Integralgleichungen gewidmeten Abschnitten die erste lehrbuchmäßige Darstellung dieser Theorie in deutscher Sprache. In der zweiten, auf Wunsch des Verlages stark gekürzten Auflage (1925; F. d. M. 51, 80 (JFM 51.0080.*)) hat Verf. diese Abschnitte zum großen Teil fortgelassen. Es ist daher besonders zu begrüßen, daß Verf., wiederholten Aufforderungen Folge leistend, nunmehr ein Buch über Integralgleichungen vorlegt. In einem einleitenden Abschnitt (``Einführung'') bespricht Verf. eine Reihe von mathematischen Problemen, die auf Integralgleichungen führen. Er folgt dabei der historischen Entwicklung, indem er zuerst die \textit{Abel}sche Integralgleichung, sodann die \textit{Fourier}sche Integraltransformation -- für die er auch die Frage nach mit ihrer Transformierten identischen Funktionen untersucht -- und schließlich die Zurückführung von Differentialgleichungen auf Integralgleichungen behandelt. Dann tritt Verf. in die systematische Darstellung ein. Diese zeigt durchweg die aus den früheren Werken des Verf. bekannte Präzision und bis in die letzte Einzelheit gehende Vollständigkeit in der Durchführung jeder Untersuchung. Mit großem Vorteil verwendet Verf. von Anfang an die Operatorenschreibweise, bezeichnet also z. B. die rechte Seite der Integralgleichung \[ \displaylines{\rlap{\indent(1)}\hfill \psi(x)=\int\limits_a^bK(x,y)\,\varphi(y)\,dy \hfill} \] als den Operator \(\mathfrak K\varphi\). Die ganze Untersuchung wird einheitlich unter der Voraussetzung durchgeführt, daß die gegebenen Funktionen stetig sind; nur in der \textit{Volterra}schen Theorie werden einmal (Kap. I, \S\ 10) singuläre Kerne von der Form \(\dfrac{k(x,y)}{(x-y)^\lambda}\) mit \(0 < \lambda < 1\) und im Grundbereich \(a\leqq y\leqq x\leqq b\) stetigem \(k (x, y)\) zugelassen. Der Hauptteil des Buches -- 238 von insgesamt 302 Seiten - umfaßt in drei großen Kapiteln die klassischen Theorien von \textit{Volterra, Fredholm} und \textit{Hubert-Schmidt}. In Kap. I ``Integralgleichungen vom Volterraschen Typus'' wird vorwiegend die Gleichung zweiter Art \[ \displaylines{\rlap{\indent(2)}\hfill f(x)-\int\limits_a^xK(x,y)\,f(y)\,dy=g(x) \hfill} \] behandelt, und zwar sowohl mit Hilfe des Grenzüberganges aus dem Algebraischen als auch mit Hilfe des lösenden Kerns. Ferner enthält dieses Kapitel die Untersuchung von (2) in dem Spezialfall eines Kerns, der in bezug auf eine Variable ein Polynom ist, den bereits oben erwähnten singulären Fall, die Ausdehnung der Theorie auf Systeme von Gleichungen (2) und auf Gleichungen für Funktionen zweier Veränderlichen sowie eine Behandlung der \textit{Volterra}schen Gleichung erster Art. In Kap. II ``Integralgleichungen vom Fredholmschen Typus'' wird in großer Ausführlichkeit die \textit{Fredholm}sche Theorie vorgetragen. Außerdem enthält dieses Kapitel die \textit{Schmidt}sche Auflösungstheorie für den Fall eines ausgearteten Kerns, d. h. eines Kerns von der Form \[ \displaylines{\rlap{\indent(3)}\hfill K(x,y)=\sum_{\nu=1}^n\varphi_\nu(x)\psi_\nu(y), \hfill} \] den Verf. als ``Kern mit getrennten Veränderlichen'' oder auch als ``algebraischen Kern'' bezeichnet, und eine eingehende Untersuchung des Transformationsproblems der Kerne (3) und seines Zusammenhangs mit der Elementarteilertheorie. Der für die Zurückführung des Falls eines beliebigen Kerns auf die beiden Spezialfälle -einerseits eines mit der \textit{Neumann}schen Reihe zu erledigenden Kerns \textit{K (x, y)} mit \[ \int\limits_a^b\int\limits_a^b\{K(x,y)\}^2\,dx\,dy<1, \] andererseits eines ausgearteten Kerns -- erforderliche Approximationssatz wird mit Hilfe \textit{Fourier}scher Reihen bewiesen. Bemerkenswert ist in diesem Kapitel ferner die Darstellung der Theorie der Hauptkerne und -lösungen. Durch Einführung der Eigenwerte und Eigenfunktionen am Schluß von Kap. II leitet Verf. dann zu dem Gegenstand des dritten Kapitels ``\textit{Fredholm}sche Integralgleichungen mit symmetrischem Kern'' über. Verf. folgt hier vorwiegend der klassischen Form, die \textit{Erhard Schmidt} in seiner Dissertation der Auflösungs- und Eigenwerttheorie für den symmetrischen Kern gegeben hat. In einem Schlußkapitel bespricht Verf. als Anwendungen der Theorie die schwingende Saite und die Randwertaufgabe bei harmonischen Funktionen in der Ebene. Das Buch ist, wie Verf. im Vorwort bemerkt, für Studierende geschrieben. Damit ist aber der Leserkreis keineswegs erschöpft: Jeder Mathematiker wird das Buch mit größtem Genuß lesen, und für die Physiker bietet es einen bequemen Zugang in die durch die neue Entwicklung der mathematischen Physik so bedeutungsvoll gewordene Eigenwerttheorie. Besprechungen: K. Bögel; Z. f. math. Unterricht 63 (1932), 96-98. G. Doetsch; Jahresbericht D. M. V. 42 (1932), 46 kursiv. E. Helly; Monatshefte f. Math. 39 (1932), 14-16 kursiv. W. Kramer, Z. f. phys. u. chem. Unterricht 45 (1932), 182-183.