Sulle equazioni funzionali del tipo di Volterra. (Q5916776)

Verf. betrachtet recht allgemeine Funktionalgleichungen vom \textit{Volterra}schen Typus: \[ \varPhi(x)=f(x)+A[x,\varPhi_0^x(y)]. \tag{\text{V}} \] Dabei ist \(\varPhi(x)\) die gesuchte Funktion, \(f (x)\) eine gegebene stetige reelle Funktion des Intervalls \((0,1)\), \(A\left[x, \varPhi_{y_1}^{y_2} (y)\right]\) eine reelle Zahl, die nach einem gegebenen Gesetz nur von \(x\) und den Werten der Funktion \(\varPhi (y)\) im Intervall \(y_1\leqq y\leqq y_2\) abhängt. Dieses Funktional ist definiert für alle \(x\), \(y_1\leqq y_2\) des Intervalls \((0,1)\) und alle stetigen reellen Funktionen \(\varPhi(y)\) dieses Intervalls, die der Ungleichung \(a \leqq\varPhi (y) \leqq b\) genügen. Spezialfälle sind: \[ \varPhi(x)=f(x) + \int\limits_0^x K(x,y)\varPhi(y)\,dy \] oder allgemeiner \[ \varPhi (x) = f (x) + \int\limits_0^x K \bigl(x, y, \varPhi (y)\bigr)\, dy \] und dgl. mehr. Mit Hilfe einer Methode, die der bekannten \textit{Cauchy}schen Polygonmethode für den Existenzbeweis eines Integrals einer gewöhnlichen Differentialgleichung nachgebildet ist, wird die Existenz einer Lösung der Gleichung (V) in einem Intervall \((0, l)\) (wobei \(0 < l\leqq 1\)) unter folgenden Voraussetzungen bewiesen: \[ \left| A\left[ x,\varPhi_{y_1}^{y_2}(y)\right]\right| \leqq M_1(y_2-y_1); \tag{{I}} \] \(\text{für}\quad 0\leqq y_1\leqq y_2\leqq y_3 \leqq 1\quad \text{ist}\) \[ \left|A\left[x,\varPhi_{y_1}^{y_3}(y)\right] -A\left[x,\varPhi_{y_1}^{y_2}(y)\right]\right| \leqq M_2(y_3-y_2);\tag{{II}} \] \(\text{zu jedem}\;\varepsilon > 0\;\text{gibt es ein}\;\varrho > 0,\;\text{so daß für}\) \(|\varPhi_1(y) - \varPhi_2(y)|\leqq\varrho\;\text{und}\;0\leqq x_2-x_1\leqq\varrho\) \[ \left| A\left[x_1,\varPhi_1{}_{y_1}^{y_2}(y)\right] - A\left[x_2,\varPhi_2{}_{y_1}^{y_2}(y)\right] \right| \leqq \varepsilon (y_2-y_1)\quad\text{ist}. \tag{{III}} \] Diese Voraussetzungen genügen jedoch nicht, um die Eindeutigkeit der Lösung zu beweisen. Erst die weitere Voraussetzung \[ \begin{multlined}\left| A\left[x_1,\varPhi_1{}_{y_1}^{y_3}(y)\right] - A\left[x_1,\varPhi_2{}_{y_1}^{y_3}(y)\right] \right|\\ \leqq M'\left\{ (y_2-y_1)\max\left| \varPhi_1{}_{y_1}^{y_2} \varPhi_2{}_{y_1}^{y_2}\right| + (y_3-y_2)\max \left|\varPhi_1{}_{y_2}^{y_3} -\varPhi_2{}_{y_2}^{y_3}\right| \right\} \end{multlined}\tag{{IV}} \] für alle \(\varPhi_1(y)\), \(\varPhi_2(y)\) und \(0\leqq y_1 \leqq y_2\leqq y_3\leqq1\) sichert die Eindeutigkeit der Lösung und damit die gleichmäßige Konvergenz der Näherungslösungen der Gleichung (V). Unter ähnlichen Voraussetzungen hat die Gleichung (V) genau eine Lösung auch in dem Falle, wo \(a\) durch \(-\infty\) und \(b\) durch \(+\infty\) ersetzt wird. Die Lösung existiert dann im ganzen Intervall \((0, 1)\). Im letzten Abschnitt wird noch ein zweites Lösungsverfahren angegeben, das sich noch enger au die \textit{Cauchy}sche Methode anschließt und brauchbar ist, wenn statt Bedingung (II) \[ A\left[x,\varPhi_{y_1}^{y_3}(y)\right] = A\left[x,\varPhi_{y_1}^{y_2}(y)\right] + A\left[x,\varPhi_{y_2}^{y_3}(y)\right] \tag{{II}\('\)} \] erfüllt ist.