Sur la décomposition des opérations fonctionnelles linéaires. (Q5916777)

Ein lineares, d. h. distributives und beschränktes Funktional \(A\), das für die Klasse der in \((a, b)\) stetigen Funktionen \(f(x)\) definiert ist, läßt sich vermittels einer Funktion \(\alpha(x)\) von beschränkter Variation als \textit{Stieltjes}sches Integral darstellen: \[ A_f = \int_a^b f(x) \, d\alpha(x). \] Aus der bekannten Zerlegung \(\alpha = \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3\), wo \(\alpha_1\) der absolut stetige Bestandteil (das unbestimmte Integral von \(\alpha^\prime(x)\)), \(\alpha_2\) die Singularitätenfunktion (stetig mit fast überall verschwindender Ableitung) und \(\alpha_3\) die Treppenfunktion ist, folgt eine Zerlegung des Funktionals in drei entsprechende Teile. Verf. leitet diese Zerlegung auf synthetischem Weg ab, ohne auf die analytische Darstellung des Funktionals zu rekurrieren. Sein Grundbegriff ist der des majorisierenden Funktionals. Das lineare Funktional \(B\) heißt eine Majorante von \(A\), wenn für jede nichtnegative Funktion \(f\) \[ A_f \leqq B_f \] ausfällt. Wenn endlich oder unendlich viele Funktionale gleichzeitig durch ein Funktional majorisierbar sind, so gibt es unter den Majoranten eine kleinste, d. h. eine, die alle anderen minorisiert. Zwei Funktionale \(A\) und \(B\) heißen \textit{disjungiert}, wenn min \((A, B) = 0\). Ein positives Funktional (d. h. \(A \geqq 0\) für \(f \geqq 0\)) heißt \textit{singulär}, wenn es zu dem Funktional \(\int\limits_a^b f(x) \, dx\) disjungiert ist; \textit{regulär}, wenn es zu jedem singulären Funktional disjungiert ist. Ein singuläres Funktional heißt \textit{stetig}, wenn es zu allen Funktionalen des Typus \(A_f = f(x_0)\) disjungiert ist; \textit{völlig unstetig}, wenn es zu allen stetigen Funktionalen disjungiert ist. Man betrachtet nun z. B. alle regulären, \(A\) minorisierenden Funktionale und bestimmt das größte davon. Es ist selbst wieder regulär und ergibt einen Bestandteil von \(A\). Die übrigen Bestandteile erhält man in analoger Weise durch Benutzung der anderen oben definierten Klassen. Es ergeben sich noch Beziehungen zur \textit{Lebesgue}schen Theorie, da die regulären Funktionale in die Form \[ A_f = \int_a^b \varphi(x)\, f(x)\, dx \] gesetzt werden können, wo \(\varphi\) eine \textit{Lebesgue}integrable Funktion ist, so daß also zwischen der Klasse dieser Funktionen (nur auf einer Nullmenge differierende werden nicht als verschieden gerechnet) und der Klasse der regulären Funktionale eine eineindeutige Korrespondenz besteht.