Probability as expressed by asymptotic limits of pencils of sequences. (Q5916841)

Verf. betrachtet unendliche Versuchsreihen und läßt im \(i\)-ten Versuch endlich viele Möglichkeiten, z. B. \[ e_i^{(0)},\;e_i^{(1)},\;\ldots,\;e_i^{({t_i})}, \] zu. Die Anfangsabschnitte der Länge \(s\) jeder Folge dieses Kontinuums denkt er sich abgezählt. \(N(s)\) sei ihre Anzahl. Dem \(k\)-ten dieser Anfangsabschnitte sei die Zahl \(f_k(s)\) zugeordnet, die z. B. als die relative Häufigkeit des Auftretens des oberen Index 1 an den \(e^{(\varrho)}\) dieses Abschnitts definiert sein kann. Ist \(\varepsilon > 0\) vorgegeben und \(L\) eine reelle Zahl, so sei \(m (\varepsilon, s)\) die Anzahl derer unter den \(N (s)\) Anfangsabschnitten, für die \[ |f_k(s)-L|<\varepsilon \] gilt. Es wird also die Anzahl der Zahlen \(k\) unter allen \(N (s) \) abgezählt, für die die Ungleichung stimmt. Falls gilt \[ \lim_{s\to\infty} \frac{m(\varepsilon,s)}{N(s)} =1, \] heißt \(L\) ``asymptotischer Limes aller \(f (s)\)'', geschrieben \[ \mathop{\text{alim}}\limits_{s\to\infty} f(s)=L. \] Wenn \(g (s)\) entsprechend erklärt ist, z. B. durch die relative Häufigkeit des oberen Index 0, so gilt, wenn \(\mathop{\text{alim}}\limits_{s\to\infty} g(s)=L'\) ist, stets \[ \mathop{\text{alim}}\limits_{s\to\infty} \bigl(f(s)+g(s)\bigr)=L+L'. \] Überhaupt gelten entsprechende Regem wie für den üblichen Limes. Verf. übersetzt dann das \textit{Bernoulli}sche und \textit{Poisson}sche Theorem in die alim-Sprache. Hierin sieht er eine vom Maßbegriff freie Begründung der Wahrscheinlichkeitsrechnung.