Sur la loi forte des grands nombres. (Q5916842)

Von einer Folge durch Zufall bestimmter, voneinander unabhängiger Größen \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\), deren mathematische Erwartungen \(E(x_n)\) sämtlich Null sind, sagt man (\textit{Cantelli}, \textit{Khintchine}), sie genüge dem ``scharfen Gesetz der großen Zahlen'', wenn die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die arithmetischen Mittel erster Ordnung der gegebenen Folge gegen Null konvergieren, gleich Eins ist. Unter Benutzung eigener früherer Ergebnisse (1928; F. d. M. 54, 543 (JFM 54.0543.*)) zeigt Verf., daß das scharfe Gesetz der großen Zahlen gewiß erfüllt ist, wenn die mathematischen Erwartungen \(E(x_n^2) = b_n\) existieren, und wenn die unendliche Reihe \(\sum\dfrac{b_n}{n^2}\) konvergiert. Ferner zeigt Verf., daß man zu einer beliebigen Folge \(b_n\) mit divergenter Reihe \(\sum\dfrac{b_n}{n^2}\) eine Folge zufälliger und unabhängiger Größen \(x_1\), \(x_2\), \(\ldots\) mit \(E(x_n) = 0\), \(E(x_n^2)= b_n\) angeben kann, die dem scharfen Gesetz der großen Zahlen \textit{nicht} genügt. Der Beweis für diesen zweiten Satz wird nur angedeutet.