Sur un procédé de sommation des séries trigonométriques. (Q5917025)

Es sei \(f (x)\) eine in \(\langle0,2\pi\rangle\) eigentlich integrable Funktion und \(S_m (x)\) die \(m\)-te Partialsumme ihrer \textit{Fourier}schen Reihe. Dann gilt, wie Verf. zeigt, in jedem Stetigkeitspunkt von \(f (x)\) \[ \lim_{m\to\infty}\frac12\left[S_m(x)+S_m\left(x+\frac{2\pi}{2m+1}\right)\right]=f(x) \] und allgemeiner \[ \nomultlinegap \begin{multlined} \lim_{m\to\infty}\frac12\left[S_m(x+\alpha_m)+ S_m\left(x+\alpha_m+\frac{2\pi(1+\varepsilon_m)}{2m+1}\right)\right]=f(x)\\ \text{für }\lim_{m\to\infty}\alpha_m=\lim_{m\to\infty}\varepsilon_m\log m=0. \end{multlined} \] Anschließend an den Beweis dieser Tatsache ergibt sich für den Fall, daß \(f(x)\) in \(\langle0,2\pi\rangle\) stetig und \(f(0) = f(2\pi)\) ist, die Abschätzung \[ \left|f(x)-\frac12\left[S_m(x)+S_m\left(x+\frac{2\pi}{2m+1}\right)\right]\right|< \left(\frac A\pi+1\right)E_m\big(f(x)\big)+ \frac12\,\omega\left(\frac{2\pi}{2m+1}\right). \] Darin bedeutet \(E_m\big(f(x)\big)\) die durch das zu \(f (x)\) gehörige trigonometrische Approximationspolynom \(m\)-ter Ordnung erzielte beste Approximation, \(\omega(\delta)\) die größte Schwankung von \(f(x)\) in einem Intervall der Länge \(\delta\) und \(A\) den Wert \(2\int\limits_0^\pi\dfrac{\sin z}z\,dz\). Weitere Folgerungen, insbesondere die Angabe einer hinreichenden Bedingung dafür, daß die durch \(S_m(x)\) erzielte Approximation von \(f(x)\) von derselben Ordnung ist wie \(E_m\big(f(x)\big)\), sowie eine Bemerkung über das asymptotische Verhalten von \(\operatorname{Max\,} S_m(x)\) und \(\operatorname{Min\,} S_m(x)\) im Falle einer nichtbeschränkten \textit{Fourier}reihe beschließen die Note.