A generalization of Taylor's series. (Q5917031)

Verf. beweist mit Hilfe eines Satzes von \textit{Birkhoff}, betreffend verallgemeinerte \textit{Taylor}reihen (C. R. 164 (1917), 942-945; F. d. M. 46, 483 (JFM 46.0483.*)-484), das folgende Theorem: Es sei \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), \(\ldots\) eine Folge komplexer Zahlen, wobei \[ |\alpha_i|<1 \qquad (i = 1,\,2,\,\ldots) \] und \(\sum\limits_{n=0}^\infty (n + 1) | \alpha_n|\) konvergent. Ebenso sei \(a_1\), \(a_2\), \(\ldots\) eine Folge komplexer Zahlen, sodaß \(\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{|a_n|}{n!}\) konvergent. Dann existiert eine und nur eine im abgeschlossenen Einheitskreis holomorphe Funktion \(f(z)\), so daß \[ f^n(\alpha_n) = a_n\qquad (n = 0,\,1,\, 2\,\ldots). \] Diese Funktion läßt sich durch die Reihe \[ f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nP_n(z) \] darstellen, wobei \(P_n(z)\) das folgende Polynom bedeutet: \[ \begin{gathered} P_n(z) = \int\limits_{\alpha_0}^z \int\limits_{\alpha_1}^t \ldots \int\limits_{\alpha_{n-1}}^{t_{n-1}} \, dt_n\ldots dt_1 \qquad (n=1,\,2\,\ldots), \\ P_0(z)=1. \end{gathered} \]